Theorem lmodstr 17368

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmodstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Proof of Theorem lmodstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		1nn 12235	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17268	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1lt2 12404	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5		2nn 12305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		plusgndx 17326	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7		2lt5 12413	. . . 4 ⊢ 2 < 5
8		5nn 12318	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		scandx 17357	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3 17210	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩
11		6nn 12321	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		vscandx 17362	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
13	11, 12	strle1 17208	. . 3 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩
14		5lt6 12415	. . 3 ⊢ 5 < 6
15	10, 13, 14	strleun 17207	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩
16	1, 15	eqbrtri 5126	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Syntax hints:   = wceq 1563   ∪ cun 3905  {csn 4585  {ctp 4589  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  1c1 11089  2c2 12286  5c5 12289  6c6 12290   Struct cstr 17196  ndxcnx 17243  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-sca 17316  df-vsca 17317

This theorem is referenced by:  lmodbase  17369  lmodplusg  17370  lmodsca  17371  lmodvsca  17372  phlstr  17389