Theorem lmodstr 17377

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmodstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Proof of Theorem lmodstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		1nn 12243	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17277	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1lt2 12412	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5		2nn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		plusgndx 17335	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7		2lt5 12421	. . . 4 ⊢ 2 < 5
8		5nn 12326	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		scandx 17366	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3 17219	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩
11		6nn 12329	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		vscandx 17371	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
13	11, 12	strle1 17217	. . 3 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩
14		5lt6 12423	. . 3 ⊢ 5 < 6
15	10, 13, 14	strleun 17216	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩
16	1, 15	eqbrtri 5131	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Syntax hints:   = wceq 1568   ∪ cun 3902  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  1c1 11100  2c2 12294  5c5 12297  6c6 12298   Struct cstr 17205  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326

This theorem is referenced by:  lmodbase  17378  lmodplusg  17379  lmodsca  17380  lmodvsca  17381  phlstr  17398