Theorem lmodstr 17369

Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmodstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Proof of Theorem lmodstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2		1nn 12277	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 17256	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1lt2 12437	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5		2nn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		plusgndx 17323	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7		2lt5 12445	. . . 4 ⊢ 2 < 5
8		5nn 12352	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
9		scandx 17358	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3 17197	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩
11		6nn 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
12		vscandx 17363	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
13	11, 12	strle1 17195	. . 3 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩
14		5lt6 12447	. . 3 ⊢ 5 < 6
15	10, 13, 14	strleun 17194	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩
16	1, 15	eqbrtri 5164	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∪ cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  1c1 11156  2c2 12321  5c5 12324  6c6 12325   Struct cstr 17183  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314

This theorem is referenced by:  lmodbase  17370  lmodplusg  17371  lmodsca  17372  lmodvsca  17373  phlstr  17390