MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodstr 17313
Description: A constructed left module or left vector space is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lmodstr.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
lmodstr 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩

Proof of Theorem lmodstr
StepHypRef Expression
1 lmodstr.w . 2 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2 1nn 12261 . . . 4 1 ∈ ℕ
3 basendx 17196 . . . 4 (Base‘ndx) = 1
4 1lt2 12421 . . . 4 1 < 2
5 2nn 12323 . . . 4 2 ∈ ℕ
6 plusgndx 17266 . . . 4 (+g‘ndx) = 2
7 2lt5 12429 . . . 4 2 < 5
8 5nn 12336 . . . 4 5 ∈ ℕ
9 scandx 17302 . . . 4 (Scalar‘ndx) = 5
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strle3 17136 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} Struct ⟨1, 5⟩
11 6nn 12339 . . . 4 6 ∈ ℕ
12 vscandx 17307 . . . 4 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
1311, 12strle1 17134 . . 3 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} Struct ⟨6, 6⟩
14 5lt6 12431 . . 3 5 < 6
1510, 13, 14strleun 17133 . 2 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩
161, 15eqbrtri 5173 1 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  cun 3947  {csn 4632  {ctp 4636  cop 4638   class class class wbr 5152  cfv 6553  1c1 11147  2c2 12305  5c5 12308  6c6 12309   Struct cstr 17122  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257
This theorem is referenced by:  lmodbase  17314  lmodplusg  17315  lmodsca  17316  lmodvsca  17317  phlstr  17334
  Copyright terms: Public domain W3C validator