Theorem lnid 28660

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnid.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnid.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnid.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
lnid.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lnid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem lnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		lnxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
11		lnid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12		lnid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13		lnid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
14		lnid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
15	1, 7, 3, 4, 8, 9, 5, 10, 5, 6, 2, 11, 12, 13, 14	lncgr 28659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑍) = (𝑍 − 𝐴))
16	15	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝑍))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 16	axtgcgrid 28553	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  distcds 17200  TarskiGcstrkg 28516  Itvcitv 28522  LineGclng 28523  cgrGccgrg 28600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-concat 14508  df-s1 14534  df-s2 14785  df-s3 14786  df-trkgc 28537  df-trkgb 28538  df-trkgcb 28539  df-trkg 28542  df-cgrg 28601

This theorem is referenced by:  tgidinside  28661  tgbtwnconn1lem3  28664