Theorem lnid 26463

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnid.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnid.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnid.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
lnid.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lnid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem lnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		lnxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
11		lnid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12		lnid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13		lnid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
14		lnid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
15	1, 7, 3, 4, 8, 9, 5, 10, 5, 6, 2, 11, 12, 13, 14	lncgr 26462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑍) = (𝑍 − 𝐴))
16	15	eqcomd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝑍))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 16	axtgcgrid 26356	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  distcds 16632  TarskiGcstrkg 26323  Itvcitv 26329  LineGclng 26330  cgrGccgrg 26403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-s3 14258  df-trkgc 26341  df-trkgb 26342  df-trkgcb 26343  df-trkg 26346  df-cgrg 26404

This theorem is referenced by:  tgidinside  26464  tgbtwnconn1lem3  26467