Theorem lnid 28446

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnid.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnid.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnid.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
lnid.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lnid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem lnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		lnxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
11		lnid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12		lnid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13		lnid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
14		lnid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
15	1, 7, 3, 4, 8, 9, 5, 10, 5, 6, 2, 11, 12, 13, 14	lncgr 28445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑍) = (𝑍 − 𝐴))
16	15	eqcomd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝑍))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 16	axtgcgrid 28339	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  distcds 17245  TarskiGcstrkg 28303  Itvcitv 28309  LineGclng 28310  cgrGccgrg 28386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-trkgc 28324  df-trkgb 28325  df-trkgcb 28326  df-trkg 28329  df-cgrg 28387

This theorem is referenced by:  tgidinside  28447  tgbtwnconn1lem3  28450