Theorem lnid 28815

Description: Identity law for points on lines. Theorem 4.18 of [Schwabhauser] p. 38. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lnid.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lnid.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnid.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
lnid.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lnid	⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Proof of Theorem lnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
6		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		lnxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
11		lnid.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
12		lnid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13		lnid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋 − 𝐴))
14		lnid.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌 − 𝐴))
15	1, 7, 3, 4, 8, 9, 5, 10, 5, 6, 2, 11, 12, 13, 14	lncgr 28814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑍) = (𝑍 − 𝐴))
16	15	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝑍))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 16	axtgcgrid 28708	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  distcds 17318  TarskiGcstrkg 28672  Itvcitv 28678  LineGclng 28679  cgrGccgrg 28755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28693  df-trkgb 28694  df-trkgcb 28695  df-trkg 28698  df-cgrg 28756

This theorem is referenced by:  tgidinside  28816  tgbtwnconn1lem3  28819