Theorem lncgr 28655

Description: Congruence rule for lines. Theorem 4.17 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lncgr.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lncgr.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lncgr.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
lncgr.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lncgr	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

Proof of Theorem lncgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglngval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglngval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		tglngval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		lnxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
9		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		lnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		lncgr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13	1, 9, 3, 8, 4, 5, 6, 7	cgr3id 28605	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
14		lncgr.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
15		lncgr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))
16		lncgr.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgfscgr 28654	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  LineGclng 28520  cgrGccgrg 28596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-cgrg 28597

This theorem is referenced by:  lnid  28656  tgbtwnconn1lem3  28660  krippenlem  28776  midexlem  28778  ragcol  28785  hypcgrlem1  28885  trgcopyeulem  28891