MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lncgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lncgr 27509
Description: Congruence rule for lines. Theorem 4.17 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lncgr.1 (𝜑𝑋𝑌)
lncgr.2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lncgr.3 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
lncgr.4 (𝜑 → (𝑌 𝐴) = (𝑌 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lncgr (𝜑 → (𝑍 𝐴) = (𝑍 𝐵))

Proof of Theorem lncgr
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglngval.l . 2 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tglngval.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tglngval.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
6 tglngval.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
7 tgcolg.z . 2 (𝜑𝑍𝑃)
8 lnxfr.r . 2 = (cgrG‘𝐺)
9 lnxfr.d . 2 = (dist‘𝐺)
10 lnxfr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
11 lnxfr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
12 lncgr.2 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
131, 9, 3, 8, 4, 5, 6, 7cgr3id 27459 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
14 lncgr.3 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
15 lncgr.4 . 2 (𝜑 → (𝑌 𝐴) = (𝑌 𝐵))
16 lncgr.1 . 2 (𝜑𝑋𝑌)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16tgfscgr 27508 1 (𝜑 → (𝑍 𝐴) = (𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  distcds 17141  TarskiGcstrkg 27367  Itvcitv 27373  LineGclng 27374  cgrGccgrg 27450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-pm 8767  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9836  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-concat 14458  df-s1 14483  df-s2 14736  df-s3 14737  df-trkgc 27388  df-trkgb 27389  df-trkgcb 27390  df-trkg 27393  df-cgrg 27451
This theorem is referenced by:  lnid  27510  tgbtwnconn1lem3  27514  krippenlem  27630  midexlem  27632  ragcol  27639  hypcgrlem1  27739  trgcopyeulem  27745
  Copyright terms: Public domain W3C validator