Theorem lncgr 28595

Description: Congruence rule for lines. Theorem 4.17 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lncgr.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lncgr.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lncgr.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
lncgr.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lncgr	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

Proof of Theorem lncgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglngval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglngval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		tglngval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		lnxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
9		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		lnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		lncgr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13	1, 9, 3, 8, 4, 5, 6, 7	cgr3id 28545	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
14		lncgr.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
15		lncgr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))
16		lncgr.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgfscgr 28594	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  cgrGccgrg 28536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-cgrg 28537

This theorem is referenced by:  lnid  28596  tgbtwnconn1lem3  28600  krippenlem  28716  midexlem  28718  ragcol  28725  hypcgrlem1  28825  trgcopyeulem  28831