Theorem lncgr 28943

Description: Congruence rule for lines. Theorem 4.17 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
lnxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lnxfr.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
lncgr.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
lncgr.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lncgr.3	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
lncgr.4	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lncgr	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

Proof of Theorem lncgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglngval.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tglngval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglngval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglngval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		tglngval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		tgcolg.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		lnxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
9		lnxfr.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		lnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		lnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		lncgr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
13	1, 9, 3, 8, 4, 5, 6, 7	cgr3id 28893	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
14		lncgr.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑋 − 𝐵))
15		lncgr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (𝑌 − 𝐵))
16		lncgr.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgfscgr 28942	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝐴) = (𝑍 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  distcds 17376  TarskiGcstrkg 28800  Itvcitv 28806  LineGclng 28807  cgrGccgrg 28884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-concat 14661  df-s1 14688  df-s2 14944  df-s3 14945  df-trkgc 28821  df-trkgb 28822  df-trkgcb 28823  df-trkg 28826  df-cgrg 28885

This theorem is used by:  lnid  28944  tgbtwnconn1lem3  28948  krippenlem  29073  midexlem  29075  ragcol  29085  hypcgrlem1  29216  trgcopyeulem  29223