Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl8b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl8b 38749
 Description: Property of a nonzero functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl8b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8b.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8b.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8b.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8b.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfl8b.z 0 = (0g𝑈)
lcfl8b.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8b.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8b.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfl8b.y 𝑌 = (0g𝐷)
lcfl8b.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl8b.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl8b.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfl8b (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑁(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   0 (𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8b
StepHypRef Expression
1 lcfl8b.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
21eldifad 3931 . . . 4 (𝜑𝐺𝐶)
3 lcfl8b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 lcfl8b.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
5 lcfl8b.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcfl8b.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 lcfl8b.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
8 lcfl8b.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
9 lcfl8b.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
10 lcfl8b.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
119lcfl1lem 38736 . . . . . . 7 (𝐺𝐶 ↔ (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
1211simplbi 501 . . . . . 6 (𝐺𝐶𝐺𝐹)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
143, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13lcfl8 38747 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
152, 14mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
16 fveq2 6661 . . . . . . . . . 10 ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
1716adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
18 lcfl8b.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1910ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
213, 5, 4, 6, 18, 19, 20dochocsn 38626 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘{𝑥})) = (𝑁‘{𝑥}))
2217, 21eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}))
232, 11sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺𝐹 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
2423simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
25 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) → 𝐺𝑌)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑌)
27 lcfl8b.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (LDual‘𝑈)
28 lcfl8b.y . . . . . . . . . . . . . 14 𝑌 = (0g𝐷)
293, 5, 10dvhlmod 38355 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
306, 7, 8, 27, 28, 29, 13lkr0f2 36406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = 𝑌))
3130necon3bid 3058 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉𝐺𝑌))
3226, 31mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿𝐺) ≠ 𝑉)
3324, 32eqnetrd 3081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
35 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3613ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝐺𝐹)
373, 4, 5, 6, 35, 7, 8, 19, 36dochkrsat2 38701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
3834, 37mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
3922, 38eqeltrrd 2917 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
40 lcfl8b.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
4129ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
426, 18, 40, 35, 41, 20lsatspn0 36245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ((𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ↔ 𝑥0 ))
4339, 42mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑥0 )
4443, 22jca 515 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝑥0 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥})))
4544ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → (𝑥0 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}))))
4645reximdva 3266 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}))))
4715, 46mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥})))
48 rexdifsn 4711 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥})))
4947, 48sylibr 237 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })( ‘(𝐿𝐺)) = (𝑁‘{𝑥}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  {crab 3137   ∖ cdif 3916  {csn 4550  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LSpanclspn 19743  LSAtomsclsa 36219  LFnlclfn 36302  LKerclk 36330  LDualcld 36368  HLchlt 36595  LHypclh 37229  DVecHcdvh 38323  ocHcoch 38592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36198 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36221  df-lshyp 36222  df-lfl 36303  df-lkr 36331  df-ldual 36369  df-oposet 36421  df-ol 36423  df-oml 36424  df-covers 36511  df-ats 36512  df-atl 36543  df-cvlat 36567  df-hlat 36596  df-llines 36743  df-lplanes 36744  df-lvols 36745  df-lines 36746  df-psubsp 36748  df-pmap 36749  df-padd 37041  df-lhyp 37233  df-laut 37234  df-ldil 37349  df-ltrn 37350  df-trl 37404  df-tgrp 37988  df-tendo 38000  df-edring 38002  df-dveca 38248  df-disoa 38274  df-dvech 38324  df-dib 38384  df-dic 38418  df-dih 38474  df-doch 38593  df-djh 38640 This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  38890
 Copyright terms: Public domain W3C validator