Theorem prmgaplem5 17020

Description: Lemma for prmgap 17024: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3631	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
2	1	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3		breq1 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
4		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
5	4	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
6	5	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
7	3, 6	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
10	9	elrab 3635	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
11	10	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
12	11	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13		elfzo2 13610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑧 < 𝑁))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
16		simpr3 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
17	14, 15, 16	elrabd 3637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
18	17	adantrl 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19		eluz2 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
20		prmz 16638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
21		zltp1le 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
22	20, 21	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23		prmnn 16637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
25		zre 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
26		ltnle 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
27	26	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
28	24, 25, 27	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
29		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
30	28, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
31	22, 30	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))))
35	34	3imp 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
36	19, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
37	36	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
38	1, 37	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	39	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
42	18, 41	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
43	42	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
44		df-nel 3038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
45		2a1 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
46	44, 45	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
47	43, 46	pm2.61i 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
48	47	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
49	13, 48	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
50	49	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
51	50	ralimdv2 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
53	12, 52	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
54	2, 8, 53	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
55		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
56	55	prmgaplem3 17018	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟)
57	54, 56	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   < clt 11173   ≤ cle 11174  3c3 12231  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ..^cfzo 13602  ℙcprime 16634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-prm 16635

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17022