Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem5 16446
 Description: Lemma for prmgap 16450: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3596 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
21ad2antlr 726 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3 breq1 5035 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
4 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
54oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
65raleqdv 3329 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
73, 6anbi12d 633 . . . 4 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
87adantl 485 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9 breq1 5035 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
109elrab 3602 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
1110simprbi 500 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
1211ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13 elfzo2 13090 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14 breq1 5035 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁𝑧 < 𝑁))
15 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
16 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
1714, 15, 16elrabd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
1817adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19 eluz2 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
20 prmz 16071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
21 zltp1le 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
2220, 21sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23 prmnn 16070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
2423nnred 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
25 zre 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
26 ltnle 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑟))
2726biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
2824, 25, 27syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
29 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑧𝑟 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
3028, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3122, 30sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3231expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))))
35343imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3619, 35sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
37363ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
381, 37syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3938adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4039imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4218, 41embantd 59 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4342ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
44 df-nel 3056 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
45 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4644, 45sylbir 238 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4743, 46pm2.61i 185 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4847impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
4913, 48syl5bi 245 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5049ex 416 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
5150ralimdv2 3107 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
5251imp 410 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
5312, 52jca 515 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
542, 8, 53rspcedvd 3544 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
55 eqid 2758 . . 3 {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
5655prmgaplem3 16444 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟)
5754, 56r19.29a 3213 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3055  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714  3c3 11730  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ..^cfzo 13082  ℙcprime 16067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-prm 16068 This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16448
 Copyright terms: Public domain W3C validator