MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem5 16990
Description: Lemma for prmgap 16994: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3677 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
21ad2antlr 725 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3 breq1 5151 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
4 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
54oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
65raleqdv 3325 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
73, 6anbi12d 631 . . . 4 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
87adantl 482 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
109elrab 3683 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
1110simprbi 497 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
1211ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13 elfzo2 13637 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁𝑧 < 𝑁))
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
16 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
1714, 15, 16elrabd 3685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
1817adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19 eluz2 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
20 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
21 zltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
2423nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
25 zre 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
26 ltnle 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑟))
2726biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
2824, 25, 27syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
29 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑧𝑟 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
3028, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3122, 30sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3231expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))))
35343imp 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3619, 35sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
37363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
381, 37syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4039imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4218, 41embantd 59 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4342ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
44 df-nel 3047 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
45 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4644, 45sylbir 234 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4743, 46pm2.61i 182 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4847impancom 452 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
4913, 48biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5049ex 413 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
5150ralimdv2 3163 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
5251imp 407 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
5312, 52jca 512 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
542, 8, 53rspcedvd 3614 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
55 eqid 2732 . . 3 {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
5655prmgaplem3 16988 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟)
5754, 56r19.29a 3162 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  3c3 12270  cz 12560  cuz 12824  ..^cfzo 13629  cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16992
  Copyright terms: Public domain W3C validator