Theorem prmgaplem5 17026

Description: Lemma for prmgap 17030: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3654	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
2	1	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
4		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
5	4	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
6	5	raleqdv 3299	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
7	3, 6	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
10	9	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
11	10	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
12	11	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13		elfzo2 13623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑧 < 𝑁))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
16		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
17	14, 15, 16	elrabd 3661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
18	17	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19		eluz2 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
20		prmz 16645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
21		zltp1le 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
22	20, 21	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23		prmnn 16644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
25		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
26		ltnle 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
27	26	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
28	24, 25, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
29		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
30	28, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
31	22, 30	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))))
35	34	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
36	19, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
38	1, 37	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	39	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
42	18, 41	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
43	42	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
44		df-nel 3030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
45		2a1 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
46	44, 45	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
47	43, 46	pm2.61i 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
48	47	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
49	13, 48	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
50	49	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
51	50	ralimdv2 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
53	12, 52	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
54	2, 8, 53	rspcedvd 3590	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
55		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
56	55	prmgaplem3 17024	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟)
57	54, 56	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  3c3 12242  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17028