Theorem prmgaplem5 16983

Description: Lemma for prmgap 16987: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3642	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
2	1	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
4		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
5	4	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
6	5	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
7	3, 6	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑟 < 𝑁))
10	9	elrab 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
11	10	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
12	11	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13		elfzo2 13578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁 ↔ 𝑧 < 𝑁))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
16		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
17	14, 15, 16	elrabd 3648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
18	17	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
19		eluz2 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
20		prmz 16602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
21		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
22	20, 21	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
23		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
25		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
26		ltnle 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
27	26	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
28	24, 25, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧 ≤ 𝑟))
29		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑧 ≤ 𝑟 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
30	28, 29	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
31	22, 30	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
32	31	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))))
35	34	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
36	19, 35	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
38	1, 37	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	39	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧 ≤ 𝑟 → 𝑧 ∉ ℙ))
42	18, 41	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
43	42	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
44		df-nel 3037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
45		2a1 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
46	44, 45	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
47	43, 46	pm2.61i 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
48	47	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
49	13, 48	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
50	49	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
51	50	ralimdv2 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
53	12, 52	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
54	2, 8, 53	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
55		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
56	55	prmgaplem3 16981	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧 ≤ 𝑟)
57	54, 56	r19.29a 3144	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167  3c3 12201  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16985