Theorem prmunb 16885

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14248	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		elnnuz 12837	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
4		eluzp1p1 12821	. . . . . 6 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
5		df-2 12249	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
7	4, 6	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
8	3, 7	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
9		exprmfct 16674	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11		prmz 16645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12		nn0z 12554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eluz 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
15		prmuz2 16666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
16		eluz2b2 12880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
17	15, 16	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
19	18	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	20, 21	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nnz 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25	18	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 1 < 𝑝)
26		dvdsfac 16296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
27	19, 26	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28		ndvdsp1 16381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
33	14, 32	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
34	33	con2d 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
35	34	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
36		nn0re 12451	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	11	zred 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
38		ltnle 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
39	36, 37, 38	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
40	35, 39	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
41	40	reximdva 3146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
42	10, 41	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
43	1, 42	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  !cfa 14238   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  prminf  16886  prmgaplem6  17027  nn0prpw  36311  prmunb2  44300  etransclem48  46280