Theorem prmunb 16467

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12097	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13849	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		elnnuz 12478	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
4		eluzp1p1 12466	. . . . . 6 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
5		df-2 11893	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	fveq2i 6720	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
7	4, 6	eleqtrrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
8	3, 7	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
9		exprmfct 16261	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11		prmz 16232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12		nn0z 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eluz 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
15		prmuz2 16253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
16		eluz2b2 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
17	15, 16	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
19	18	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	20, 21	sylancom 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nnz 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25	18	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 1 < 𝑝)
26		dvdsfac 15887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
27	19, 26	sylancom 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28		ndvdsp1 15972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
29	28	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
31	30	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
32	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
33	14, 32	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
34	33	con2d 136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
35	34	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
36		nn0re 12099	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	11	zred 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
38		ltnle 10912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
39	36, 37, 38	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
40	35, 39	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
41	40	reximdva 3193	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
42	10, 41	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
43	1, 42	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868  ℕcn 11830  2c2 11885  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  !cfa 13839   ∥ cdvds 15815  ℙcprime 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-prm 16229

This theorem is referenced by:  prminf  16468  prmgaplem6  16609  nn0prpw  34249  prmunb2  41602  etransclem48  43498