Theorem prmunb 16854

Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14218	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		elnnuz 12803	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
4		eluzp1p1 12791	. . . . . 6 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
5		df-2 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
6	5	fveq2i 6845	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
7	4, 6	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
8	3, 7	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
9		exprmfct 16643	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
10	2, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11		prmz 16614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12		nn0z 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eluz 12777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
14	11, 12, 13	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) ↔ 𝑝 ≤ 𝑁))
15		prmuz2 16635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
16		eluz2b2 12846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
17	15, 16	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
19	18	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21		eluznn0 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	20, 21	sylancom 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		nnz 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
25	18	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 1 < 𝑝)
26		dvdsfac 16265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
27	19, 26	sylancom 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28		ndvdsp1 16350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
30	24, 19, 25, 27, 29	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
31	30	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
33	14, 32	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
34	33	con2d 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
35	34	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
36		nn0re 12422	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	11	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
38		ltnle 11224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
39	36, 37, 38	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
40	35, 39	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
41	40	reximdva 3151	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
42	10, 41	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
43	1, 42	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  !cfa 14208   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  prminf  16855  prmgaplem6  16996  nn0prpw  36536  prmunb2  44664  etransclem48  46637