MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmunb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb 16888
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12515 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14280 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3 elnnuz 12902 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
4 eluzp1p1 12886 . . . . . 6 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5 df-2 12311 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
65fveq2i 6903 . . . . . 6 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
74, 6eleqtrrdi 2839 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
83, 7sylbi 216 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
9 exprmfct 16680 . . . 4 (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
102, 8, 93syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11 prmz 16651 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12 nn0z 12619 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13 eluz 12872 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
15 prmuz2 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
16 eluz2b2 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1918simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 12568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21 eluznn0 12937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2220, 21sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 nnz 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2422, 2, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2518simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 1 < 𝑝)
26 dvdsfac 16308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
2719, 26sylancom 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28 ndvdsp1 16393 . . . . . . . . . . . 12 (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
2928imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3130ex 411 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3231adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3314, 32sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3433con2d 134 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
3534ancoms 457 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
36 nn0re 12517 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3711zred 12702 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
38 ltnle 11329 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
3936, 37, 38syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
4035, 39sylibrd 258 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
4140reximdva 3164 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
4210, 41mpd 15 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
431, 42syl 17 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wrex 3066   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cr 11143  1c1 11145   + caddc 11147   < clt 11284  cle 11285  cn 12248  2c2 12303  0cn0 12508  cz 12594  cuz 12858  !cfa 14270  cdvds 16236  cprime 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-prm 16648
This theorem is referenced by:  prminf  16889  prmgaplem6  17030  nn0prpw  35812  prmunb2  43751  etransclem48  45672
  Copyright terms: Public domain W3C validator