MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmunb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb 16854
Description: The primes are unbounded. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmunb (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem prmunb
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12480 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14246 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3 elnnuz 12867 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
4 eluzp1p1 12851 . . . . . 6 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5 df-2 12276 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
65fveq2i 6887 . . . . . 6 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
74, 6eleqtrrdi 2838 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
83, 7sylbi 216 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2))
9 exprmfct 16646 . . . 4 (((!‘𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
102, 8, 93syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
11 prmz 16617 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
12 nn0z 12584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
13 eluz 12837 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) ↔ 𝑝𝑁))
15 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
16 eluz2b2 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1715, 16sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
1918simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 12533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
21 eluznn0 12902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2220, 21sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 nnz 12580 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2422, 2, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
2518simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 1 < 𝑝)
26 dvdsfac 16274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
2719, 26sylancom 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑝 ∥ (!‘𝑁))
28 ndvdsp1 16359 . . . . . . . . . . . 12 (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) → (𝑝 ∥ (!‘𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
2928imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝) ∧ 𝑝 ∥ (!‘𝑁)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3024, 19, 25, 27, 29syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑝)) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1))
3130ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑝) → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3314, 32sylbird 260 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑁 → ¬ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1)))
3433con2d 134 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
3534ancoms 458 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ¬ 𝑝𝑁))
36 nn0re 12482 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3711zred 12667 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
38 ltnle 11294 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
3936, 37, 38syl2an 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑁))
4035, 39sylibrd 259 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → 𝑁 < 𝑝))
4140reximdva 3162 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((!‘𝑁) + 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝))
4210, 41mpd 15 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
431, 42syl 17 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wrex 3064   class class class wbr 5141  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cn 12213  2c2 12268  0cn0 12473  cz 12559  cuz 12823  !cfa 14236  cdvds 16202  cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  prminf  16855  prmgaplem6  16996  nn0prpw  35716  prmunb2  43627  etransclem48  45551
  Copyright terms: Public domain W3C validator