MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd0 14545
Description: The value of a subword operation for inproper arguments is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd0 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd0
StepHypRef Expression
1 ianor 980 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ (¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
2 3ianor 1107 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
3 elfz2nn0 13532 . . . . 5 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
42, 3xchnxbir 332 . . . 4 𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
5 3ianor 1107 . . . . 5 (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
6 elfz2nn0 13532 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
75, 6xchnxbir 332 . . . 4 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
84, 7orbi12i 913 . . 3 ((¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
91, 8bitri 274 . 2 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
10 df-3or 1088 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿))
11 ianor 980 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
12 swrdnnn0nd 14544 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1312expcom 414 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
1411, 13sylbir 234 . . . . . 6 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
15 anor 981 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
16 nn0re 12422 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
17 nn0re 12422 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ)
18 ltnle 11234 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
1916, 17, 18syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
20 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
21 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2220, 21anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2322anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
24 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
2523, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2717, 16anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
29 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3130imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → 𝐿𝐹)
32313mix2d 1337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
33 swrdnd 14542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3426, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
3534ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3635expcom 414 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3736com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3819, 37sylbird 259 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3915, 38sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4039imp 407 . . . . . 6 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4114, 40jaoi3 1059 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4210, 41sylbi 216 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
43 3anor 1108 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
44 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
45443ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4645com12 32 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
47 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
48 lencl 14421 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4947, 48syl11 33 . . . . . . . 8 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5049a1d 25 . . . . . . 7 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5148nn0red 12474 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
52163ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
53 ltnle 11234 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
5451, 52, 53syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
56203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐹 ∈ ℤ)
58213ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
6055, 57, 593jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
61 3mix3 1332 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
6260, 61, 33syl2im 40 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6354, 62sylbird 259 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6463com12 32 . . . . . . . 8 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6564expd 416 . . . . . . 7 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6646, 50, 653jaoi 1427 . . . . . 6 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6743, 66biimtrrid 242 . . . . 5 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6867impcom 408 . . . 4 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∧ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6942, 68jaoi3 1059 . . 3 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
7069com12 32 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
719, 70biimtrid 241 1 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4282  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  chash 14230  Word cword 14402   substr csubstr 14528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-substr 14529
This theorem is referenced by:  swrdwrdsymb  14550
  Copyright terms: Public domain W3C validator