MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd0 14691
Description: The value of a subword operation for inproper arguments is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd0 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd0
StepHypRef Expression
1 ianor 983 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ (¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
2 3ianor 1106 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
3 elfz2nn0 13654 . . . . 5 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
42, 3xchnxbir 333 . . . 4 𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
5 3ianor 1106 . . . . 5 (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
6 elfz2nn0 13654 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
75, 6xchnxbir 333 . . . 4 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
84, 7orbi12i 914 . . 3 ((¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
91, 8bitri 275 . 2 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
10 df-3or 1087 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿))
11 ianor 983 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
12 swrdnnn0nd 14690 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1312expcom 413 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
1411, 13sylbir 235 . . . . . 6 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
15 anor 984 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
16 nn0re 12532 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
17 nn0re 12532 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ)
18 ltnle 11337 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
1916, 17, 18syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
20 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
21 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2220, 21anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2322anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
24 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
2523, 24sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2717, 16anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
29 ltle 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3130imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → 𝐿𝐹)
32313mix2d 1336 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
33 swrdnd 14688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3426, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
3534ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3635expcom 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3736com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3819, 37sylbird 260 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3915, 38sylbir 235 . . . . . . 7 (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4039imp 406 . . . . . 6 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4114, 40jaoi3 1060 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4210, 41sylbi 217 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
43 3anor 1107 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
44 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
45443ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4645com12 32 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
47 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
48 lencl 14567 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4947, 48syl11 33 . . . . . . . 8 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5049a1d 25 . . . . . . 7 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5148nn0red 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
52163ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
53 ltnle 11337 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
5451, 52, 53syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
56203ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐹 ∈ ℤ)
58213ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
6055, 57, 593jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
61 3mix3 1331 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
6260, 61, 33syl2im 40 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6354, 62sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6463com12 32 . . . . . . . 8 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6564expd 415 . . . . . . 7 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6646, 50, 653jaoi 1427 . . . . . 6 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6743, 66biimtrrid 243 . . . . 5 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6867impcom 407 . . . 4 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∧ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6942, 68jaoi3 1060 . . 3 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
7069com12 32 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
719, 70biimtrid 242 1 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338  cop 4636   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  chash 14365  Word cword 14548   substr csubstr 14674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-substr 14675
This theorem is referenced by:  swrdwrdsymb  14696
  Copyright terms: Public domain W3C validator