MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd0 13752
Description: The value of a subword operation for inproper arguments is the empty set. (Contributed by AV, 2-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd0 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd0
StepHypRef Expression
1 ianor 967 . . 3 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ (¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
2 3ianor 1094 . . . . 5 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
3 elfz2nn0 12749 . . . . 5 (𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿))
42, 3xchnxbir 325 . . . 4 𝐹 ∈ (0...𝐿) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
5 3ianor 1094 . . . . 5 (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
6 elfz2nn0 12749 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
75, 6xchnxbir 325 . . . 4 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
84, 7orbi12i 901 . . 3 ((¬ 𝐹 ∈ (0...𝐿) ∨ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
91, 8bitri 267 . 2 (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))))
10 df-3or 1072 . . . . 5 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ↔ ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿))
11 ianor 967 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
12 swrdnnn0nd 13751 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ ¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1312expcom 404 . . . . . . 7 (¬ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
1411, 13sylbir 227 . . . . . 6 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
15 anor 968 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
16 nn0re 11652 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
17 nn0re 11652 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ)
18 ltnle 10456 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
1916, 17, 18syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 ↔ ¬ 𝐹𝐿))
20 nn0z 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℤ)
21 nn0z 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2220, 21anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2322anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
24 3anass 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ↔ (𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)))
2523, 24sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2625adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2717, 16anim12ci 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
2827adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ))
29 ltle 10465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹𝐿𝐹))
3130imp 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → 𝐿𝐹)
32313mix2d 1393 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
33 swrdnd 13749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3426, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿 < 𝐹) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
3534ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
3635expcom 404 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3736com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝐹 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3819, 37sylbird 252 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
3915, 38sylbir 227 . . . . . . 7 (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐹𝐿 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4039imp 397 . . . . . 6 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4114, 40jaoi3 1044 . . . . 5 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
4210, 41sylbi 209 . . . 4 ((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
43 3anor 1095 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ↔ ¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿))
44 pm2.24 122 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
45443ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4645com12 32 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
47 pm2.24 122 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
48 lencl 13621 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
4947, 48syl11 33 . . . . . . . 8 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5049a1d 25 . . . . . . 7 (¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5148nn0red 11703 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
52163ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
53 ltnle 10456 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
5451, 52, 53syl2anr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)))
55 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝑆 ∈ Word 𝑉)
56203ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐹 ∈ ℤ)
5756adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐹 ∈ ℤ)
58213ad2ant2 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
5958adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
6055, 57, 593jca 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
61 3mix3 1388 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑆) < 𝐿))
6260, 61, 33syl2im 40 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → ((♯‘𝑆) < 𝐿 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6354, 62sylbird 252 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6463com12 32 . . . . . . . 8 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → (((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) ∧ 𝑆 ∈ Word 𝑉) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6564expd 406 . . . . . . 7 𝐿 ≤ (♯‘𝑆) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6646, 50, 653jaoi 1501 . . . . . 6 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → ((𝐹 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6743, 66syl5bir 235 . . . . 5 ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆)) → (¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
6867impcom 398 . . . 4 ((¬ (¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∧ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6942, 68jaoi3 1044 . . 3 (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
7069com12 32 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (((¬ 𝐹 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐹𝐿) ∨ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
719, 70syl5bi 234 1 (𝑆 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  c0 4141  cop 4404   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271  0cc0 10272   < clt 10411  cle 10412  0cn0 11642  cz 11728  ...cfz 12643  chash 13435  Word cword 13599   substr csubstr 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-substr 13731
This theorem is referenced by:  swrdwrdsymb  13766
  Copyright terms: Public domain W3C validator