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Theorem 2sqreulem1 26939
Description: Lemma 1 for 2sqreu 26949. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreulem1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreulem1
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqnn0 26931 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
2 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑏𝑥𝑏))
5 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑2) = (𝑥↑2))
65oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))
76eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
84, 7anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
98reubidv 3395 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑥) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
13 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥𝑏𝑥𝑦))
14 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑2) = (𝑦↑2))
1514oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
1615eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
18 equequ1 2029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 = 𝑐𝑦 = 𝑐))
1918imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2019ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2117, 20anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
25 nn0re 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
2625resqcld 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
28 nn0re 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
2928resqcld 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
32 nn0re 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
3332resqcld 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
36 readdcan 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3727, 31, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3828ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3925ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
40 nn0ge0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
4140ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑦)
42 nn0ge0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑐)
4342ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑦↑2))
4544eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) = (𝑐↑2))
4638, 39, 41, 43, 45sq11d 14218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐)
4746ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑦↑2) → 𝑦 = 𝑐))
4837, 47sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐))
4948adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5049ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5123, 24, 50jca31 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
5212, 22, 51rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
53 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑥𝑏𝑥𝑐))
54 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
5554oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)))
5655eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5753, 56anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5857reu8 3729 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
5952, 58sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6059ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6261impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
63 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6463anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6564reubidv 3395 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6665adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6766adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6862, 67mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
693, 10, 68rspcedvd 3615 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7011adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7170adantl 483 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏𝑦𝑏))
73 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑2) = (𝑦↑2))
7473oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)))
7574eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7672, 75anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7776reubidv 3395 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7877adantl 483 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑦) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
79 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ0)
80 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (𝑦𝑏𝑦𝑥))
81 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏↑2) = (𝑥↑2))
8281oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
8382eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
8480, 83anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
85 equequ1 2029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 = 𝑐𝑥 = 𝑐))
8685imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8786ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8884, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
8988adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑥) → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
90 ltnle 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9128, 32, 90syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9228ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
9332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
94 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
9592, 93, 94ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥)
9695ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
9791, 96sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
9897imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
9929recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10133recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
102101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
103100, 102addcomd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10534recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10730recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
108107adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
109106, 108addcomd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
110109eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2))))
11126adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
11233ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
11329ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
114 readdcan 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
115111, 112, 113, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
116110, 115bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
11725ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
11832adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12042ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
121 nn0ge0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
122121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑥)
123122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑥)
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑥↑2))
125117, 119, 120, 123, 124sq11d 14218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 = 𝑥)
126125eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 = 𝑐)
127126ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑥↑2) → 𝑥 = 𝑐))
128116, 127sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑥 = 𝑐))
129128adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
130129ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
131130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
13298, 104, 131jca31 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
13379, 89, 132rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
134 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑦𝑏𝑦𝑐))
13554oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)))
136135eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
137134, 136anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
138137reu8 3729 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
139133, 138sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
140139ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
141140adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
142141impcom 409 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
143 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
144143anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
145144reubidv 3395 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
146145adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
147146adantl 483 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
148142, 147mpbird 257 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
14971, 78, 148rspcedvd 3615 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
15069, 149pm2.61ian 811 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
151150ex 414 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
152151adantl 483 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
153152rexlimdvva 3212 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
1541, 153mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
155 reurex 3381 . . . . 5 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
156155a1i 11 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
157156ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
158 2sqmo 26930 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
159158adantr 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
160 rmoim 3736 . . 3 (∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
161157, 159, 160sylc 65 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
162 reu5 3379 . 2 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
163154, 161, 162sylanbrc 584 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  ∃!wreu 3375  ∃*wrmo 3376   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245  cle 11246  2c2 12264  4c4 12266  0cn0 12469   mod cmo 13831  cexp 14024  cprime 16605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16696  df-pc 16767  df-gz 16860  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-imas 17451  df-qus 17452  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-nsg 18999  df-eqg 19000  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-2idl 20850  df-rlreg 20892  df-domn 20893  df-idom 20894  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-zn 21048  df-assa 21400  df-asp 21401  df-ascl 21402  df-psr 21454  df-mvr 21455  df-mpl 21456  df-opsr 21458  df-evls 21627  df-evl 21628  df-psr1 21696  df-vr1 21697  df-ply1 21698  df-coe1 21699  df-evl1 21827  df-mdeg 25562  df-deg1 25563  df-mon1 25640  df-uc1p 25641  df-q1p 25642  df-r1p 25643  df-lgs 26788
This theorem is referenced by:  2sqreultlem  26940  2sqreu  26949
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