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Theorem 2sqreulem1 27504
Description: Lemma 1 for 2sqreu 27514. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreulem1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreulem1
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqnn0 27496 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
2 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑏𝑥𝑏))
5 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑2) = (𝑥↑2))
65oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))
76eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
84, 7anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
98reubidv 3395 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑥) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
13 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥𝑏𝑥𝑦))
14 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑2) = (𝑦↑2))
1514oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
1615eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1713, 16anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
18 equequ1 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 = 𝑐𝑦 = 𝑐))
1918imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2019ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2117, 20anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
25 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
2625resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
28 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
2928resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
32 nn0re 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
3332resqcld 14161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
36 readdcan 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3727, 31, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3828ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3925ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
40 nn0ge0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
4140ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑦)
42 nn0ge0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑐)
4342ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑦↑2))
4544eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) = (𝑐↑2))
4638, 39, 41, 43, 45sq11d 14293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐)
4746ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑦↑2) → 𝑦 = 𝑐))
4837, 47sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐))
4948adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5049ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5123, 24, 50jca31 514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
5212, 22, 51rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
53 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑥𝑏𝑥𝑐))
54 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
5554oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)))
5655eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5753, 56anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5857reu8 3741 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
5952, 58sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6059ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6261impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
63 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6463anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6564reubidv 3395 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6862, 67mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
693, 10, 68rspcedvd 3623 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7011adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7170adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏𝑦𝑏))
73 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑2) = (𝑦↑2))
7473oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)))
7574eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7672, 75anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7776reubidv 3395 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7877adantl 481 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑦) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
79 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ0)
80 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (𝑦𝑏𝑦𝑥))
81 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏↑2) = (𝑥↑2))
8281oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
8382eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
8480, 83anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
85 equequ1 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 = 𝑐𝑥 = 𝑐))
8685imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8786ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8884, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑥) → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
90 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9128, 32, 90syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9228ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
9332ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
94 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
9592, 93, 94ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥)
9695ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
9791, 96sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
9897imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
9929recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10133recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
103100, 102addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10534recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10730recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
109106, 108addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
110109eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2))))
11126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
11233ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
11329ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
114 readdcan 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
115111, 112, 113, 114syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
116110, 115bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
11725ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
11832adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
119118ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12042ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
121 nn0ge0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑥)
123122ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑥)
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑥↑2))
125117, 119, 120, 123, 124sq11d 14293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 = 𝑥)
126125eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 = 𝑐)
127126ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑥↑2) → 𝑥 = 𝑐))
128116, 127sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑥 = 𝑐))
129128adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
130129ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
13298, 104, 131jca31 514 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
13379, 89, 132rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
134 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑦𝑏𝑦𝑐))
13554oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)))
136135eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
137134, 136anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
138137reu8 3741 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
139133, 138sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
140139ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
141140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
142141impcom 407 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
143 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
144143anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
145144reubidv 3395 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
146145adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
147146adantl 481 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
148142, 147mpbird 257 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
14971, 78, 148rspcedvd 3623 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
15069, 149pm2.61ian 812 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
151150ex 412 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
152151adantl 481 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
153152rexlimdvva 3210 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
1541, 153mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
155 reurex 3381 . . . . 5 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
156155a1i 11 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
157156ralrimiva 3143 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
158 2sqmo 27495 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
159158adantr 480 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
160 rmoim 3748 . . 3 (∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
161157, 159, 160sylc 65 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
162 reu5 3379 . 2 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
163154, 161, 162sylanbrc 583 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3375  ∃*wrmo 3376   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  4c4 12320  0cn0 12523   mod cmo 13905  cexp 14098  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-phi 16799  df-pc 16870  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evl1 22335  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-q1p 26186  df-r1p 26187  df-lgs 27353
This theorem is referenced by:  2sqreultlem  27505  2sqreu  27514
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