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Theorem 2sqreulem1 25709
Description: Lemma 1 for 2sqreu 25719. (Contributed by AV, 4-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreulem1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqreulem1
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqnn0 25701 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
2 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
32adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4 breq1 4969 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑏𝑥𝑏))
5 oveq1 7028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑2) = (𝑥↑2))
65oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))
76eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
84, 7anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
98reubidv 3349 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑥) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
13 breq2 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (𝑥𝑏𝑥𝑦))
14 oveq1 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑2) = (𝑦↑2))
1514oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
1615eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1713, 16anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
18 equequ1 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 = 𝑐𝑦 = 𝑐))
1918imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2019ralbidv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
2117, 20anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑦) → (((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))))
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
24 eqidd 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
25 nn0re 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
2625resqcld 13466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
28 nn0re 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
2928resqcld 13466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
32 nn0re 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
3332resqcld 13466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
3534ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
36 readdcan 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3727, 31, 35, 36syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)))
3828ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3925ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
40 nn0ge0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
4140ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑦)
42 nn0ge0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑐)
4342ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑦↑2))
4544eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) = (𝑐↑2))
4638, 39, 41, 43, 45sq11d 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐)
4746ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑦↑2) → 𝑦 = 𝑐))
4837, 47sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑦 = 𝑐))
4948adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5049ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐))
5123, 24, 50jca31 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 = 𝑐)))
5212, 22, 51rspcedvd 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
53 breq2 4970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑥𝑏𝑥𝑐))
54 oveq1 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
5554oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)))
5655eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
5753, 56anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
5857reu8 3661 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑥𝑐 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
5952, 58sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6059ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6261impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
63 eqeq2 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
6463anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6564reubidv 3349 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6665adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
6862, 67mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑥𝑏 ∧ ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
693, 10, 68rspcedvd 3566 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7011adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
7170adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
72 breq1 4969 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏𝑦𝑏))
73 oveq1 7028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎↑2) = (𝑦↑2))
7473oveq1d 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)))
7574eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
7672, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7776reubidv 3349 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
7877adantl 482 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) ∧ 𝑎 = 𝑦) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
79 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℕ0)
80 breq2 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (𝑦𝑏𝑦𝑥))
81 oveq1 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏↑2) = (𝑥↑2))
8281oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
8382eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
8480, 83anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
85 equequ1 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 = 𝑐𝑥 = 𝑐))
8685imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8786ralbidv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑥 → (∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
8884, 87anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑥 → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) ∧ 𝑏 = 𝑥) → (((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)) ↔ ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))))
90 ltnle 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9128, 32, 90syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
9228ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
9332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
94 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
9592, 93, 94ltled 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦𝑥)
9695ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
9791, 96sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦𝑦𝑥))
9897imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
9929recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
10133recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
103100, 102addcomd 10694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10534recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10730recnd 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
109106, 108addcomd 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)))
110109eqeq2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2))))
11126adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐↑2) ∈ ℝ)
11233ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
11329ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
114 readdcan 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑐↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑦↑2) ∈ ℝ) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
115111, 112, 113, 114syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
116110, 115bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)))
11725ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 ∈ ℝ)
11832adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
119118ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12042ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑐)
121 nn0ge0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
122121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑥)
123122ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 0 ≤ 𝑥)
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → (𝑐↑2) = (𝑥↑2))
125117, 119, 120, 123, 124sq11d 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑐 = 𝑥)
126125eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐↑2) = (𝑥↑2)) → 𝑥 = 𝑐)
127126ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐↑2) = (𝑥↑2) → 𝑥 = 𝑐))
128116, 127sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝑥 = 𝑐))
129128adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
130129ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
131130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐))
13298, 104, 131jca31 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ((𝑦𝑥 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑥↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑥 = 𝑐)))
13379, 89, 132rspcedvd 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
134 breq2 4970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (𝑦𝑏𝑦𝑐))
13554oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)))
136135eqeq1d 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
137134, 136anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
138137reu8 3661 . . . . . . . . . . . . 13 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((𝑦𝑐 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑐↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑏 = 𝑐)))
139133, 138sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
140139ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
141140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑥𝑦 → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
142141impcom 408 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
143 eqeq2 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
144143anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ((𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
145144reubidv 3349 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
146145adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
147146adantl 482 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
148142, 147mpbird 258 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑦𝑏 ∧ ((𝑦↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
14971, 78, 148rspcedvd 3566 . . . . . . 7 ((¬ 𝑥𝑦 ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
15069, 149pm2.61ian 808 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
151150ex 413 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
152151adantl 482 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
153152rexlimdvva 3257 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
1541, 153mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
155 reurex 3391 . . . . 5 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
156155a1i 11 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
157156ralrimiva 3149 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
158 2sqmo 25700 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
159158adantr 481 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
160 rmoim 3668 . . 3 (∀𝑎 ∈ ℕ0 (∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → (∃*𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
161157, 159, 160sylc 65 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
162 reu5 3390 . 2 (∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)))
163154, 161, 162sylanbrc 583 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃!𝑎 ∈ ℕ0 ∃!𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  ∃!wreu 3107  ∃*wrmo 3108   class class class wbr 4966  (class class class)co 7021  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526  cle 10527  2c2 11545  4c4 11547  0cn0 11750   mod cmo 13092  cexp 13284  cprime 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-ofr 7273  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-er 8144  df-ec 8146  df-qs 8150  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-dvds 15446  df-gcd 15682  df-prm 15850  df-phi 15937  df-pc 16008  df-gz 16100  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-prds 16555  df-pws 16557  df-imas 16615  df-qus 16616  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-mulg 17987  df-subg 18035  df-nsg 18036  df-eqg 18037  df-ghm 18102  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-srg 18951  df-ring 18994  df-cring 18995  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-dvr 19128  df-rnghom 19162  df-drng 19199  df-field 19200  df-subrg 19228  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-sra 19639  df-rgmod 19640  df-lidl 19641  df-rsp 19642  df-2idl 19699  df-nzr 19725  df-rlreg 19750  df-domn 19751  df-idom 19752  df-assa 19779  df-asp 19780  df-ascl 19781  df-psr 19829  df-mvr 19830  df-mpl 19831  df-opsr 19833  df-evls 19978  df-evl 19979  df-psr1 20036  df-vr1 20037  df-ply1 20038  df-coe1 20039  df-evl1 20167  df-cnfld 20233  df-zring 20305  df-zrh 20338  df-zn 20341  df-mdeg 24337  df-deg1 24338  df-mon1 24412  df-uc1p 24413  df-q1p 24414  df-r1p 24415  df-lgs 25558
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