prmgaplem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem prmgaplem6 17120

Description: Lemma for prmgap 17123: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmgaplem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group: 𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6 Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmunb 16978	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}
3	2	prmgaplem4 17118	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧)
4		breq2 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑝))
5		breq1 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑝 ≤ 𝑛))
6	4, 5	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
7	6	elrab 3650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
8		simplrl 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11		breq2 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑧))
12		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑧 ≤ 𝑛))
13	11, 12	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
14		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		elfzo2 13695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
16		eluz2 12872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
17		nnz 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		prmz 16737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
20	17, 18, 19	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
21	20	exbiri 822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
24	23	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))
25	24	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
28	27	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
29		prmnn 16736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32		prmnn 16736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
33	32	nnred 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
36		prmnn 16736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	36	nnred 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		ltleletr 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
40	31, 35, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
41	40	exp4b 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
42	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
43	42	expdcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
44	43	com45 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
45	44	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
46	45	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
47	46	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
48	47	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))
49	48	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))
50	49	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧 ≤ 𝑛))
51	50	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑧 ≤ 𝑛)
52	28, 51	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
53	52	exp41 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
54	53	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
55	16, 54	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
56	55	3imp 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
57	15, 56	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
58	57	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
59	13, 14, 58	elrabd 3652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)})
60		elfzolt2 13702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
61	33	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
62		ltnle 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
63	62	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
64	30, 61, 63	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
65	64	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)
66	65	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
67	60, 66	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
68	59, 67	embantd 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
69	68	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
70	69	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
71	70	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
72		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
73		2a1 29	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
74	73	a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
75	72, 74	sylbir 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
76	71, 75	pm2.61i 184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
77	76	ralimdv2 3174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
78	77	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
79	8, 10, 78	jca32 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
80	79	exp31 424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
81	7, 80	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
82	81	impd 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
83	82	reximdv2 3175	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
84	3, 83	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
85	84	rexlimdv3a 3170	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
86	1, 85	mpd 16	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 ∈ wcel 2143 ∉ wnel 3064 ∀wral 3079 ∃wrex 3089 {crab 3416 class class class wbr 5109 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℝcr 11103 1c1 11105 + caddc 11107 < clt 11247 ≤ cle 11248 ℕcn 12237 ℤcz 12595 ℤ_≥cuz 12866 ..^cfzo 13687 ℙcprime 16733

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11160 ax-resscn 11161 ax-1cn 11162 ax-icn 11163 ax-addcl 11164 ax-addrcl 11165 ax-mulcl 11166 ax-mulrcl 11167 ax-mulcom 11168 ax-addass 11169 ax-mulass 11170 ax-distr 11171 ax-i2m1 11172 ax-1ne0 11173 ax-1rid 11174 ax-rnegex 11175 ax-rrecex 11176 ax-cnre 11177 ax-pre-lttri 11178 ax-pre-lttrn 11179 ax-pre-ltadd 11180 ax-pre-mulgt0 11181 ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9398 df-inf 9399 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11876 df-nn 12238 df-2 12307 df-3 12308 df-n0 12509 df-z 12596 df-uz 12867 df-rp 13021 df-fz 13540 df-fzo 13688 df-seq 14043 df-exp 14103 df-fac 14315 df-cj 15155 df-re 15156 df-im 15157 df-sqrt 15291 df-abs 15292 df-dvds 16315 df-prm 16734

This theorem is used by: prmgaplem7 17121

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