Theorem prmgaplem6 16247

Description: Lemma for prmgap 16250: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6

Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmunb 16105	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2		eqid 2773	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}
3	2	prmgaplem4 16245	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧)
4		breq2 4930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑝))
5		breq1 4929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑝 ≤ 𝑛))
6	4, 5	anbi12d 622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
7	6	elrab 3590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
8		simplrl 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		simprrl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
10	9	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11		breq2 4930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑧))
12		breq1 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑧 ≤ 𝑛))
13	11, 12	anbi12d 622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
14		simpll 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		elfzo2 12856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
16		eluz2 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
17		nnz 11816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		prmz 15874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
19		zltp1le 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
20	17, 18, 19	syl2an 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
21	20	exbiri 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
22	21	3ad2ant1 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
23	22	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
24	23	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
26	25	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
27	26	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
28	27	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
29		prmnn 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
30	29	nnred 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32		prmnn 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
33	32	nnred 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	34	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
36		prmnn 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	36	nnred 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
38	37	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		ltleletr 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
40	31, 35, 38, 39	syl3anc 1352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
41	40	exp4b 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
42	41	3ad2ant2 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
43	42	expdcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
44	43	com45 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
46	45	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
47	46	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
48	47	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))
49	48	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))
50	49	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧 ≤ 𝑛))
51	50	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑧 ≤ 𝑛)
52	28, 51	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
53	52	exp41 427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
54	53	3ad2ant3 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
55	16, 54	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
56	55	3imp 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
57	15, 56	sylbi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
58	57	impcom 399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
59	13, 14, 58	elrabd 3593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)})
60		elfzolt2 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
61	33	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
62		ltnle 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
63	62	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
64	30, 61, 63	syl2an 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
65	64	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)
66	65	pm2.21d 119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
67	60, 66	sylan2 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
68	59, 67	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
69	68	ex 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
70	69	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
71	70	ex 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
72		df-nel 3069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
73		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
75	72, 74	sylbir 227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
76	71, 75	pm2.61i 177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
77	76	ralimdv2 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
78	77	imp 398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
79	8, 10, 78	jca32 508	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
80	79	exp31 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
81	7, 80	syl5bi 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
82	81	impd 402	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
83	82	reximdv2 3211	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
84	3, 83	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
85	84	rexlimdv3a 3226	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
86	1, 85	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051   ∉ wnel 3068  ∀wral 3083  ∃wrex 3084  {crab 3087   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474  ℕcn 11438  ℤcz 11792  ℤ_≥cuz 12057  ..^cfzo 12848  ℙcprime 15870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-dvds 15467  df-prm 15871

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16248