Theorem prmgaplem6 17093

Description: Lemma for prmgap 17096: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6

Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmunb 16951	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}
3	2	prmgaplem4 17091	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧)
4		breq2 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑝))
5		breq1 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑝 ≤ 𝑛))
6	4, 5	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
7	6	elrab 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
8		simplrl 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		simprrl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11		breq2 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑧))
12		breq1 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑧 ≤ 𝑛))
13	11, 12	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
14		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		elfzo2 13668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
16		eluz2 12846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
17		nnz 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		prmz 16710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
20	17, 18, 19	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
21	20	exbiri 820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
22	21	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
24	23	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
26	25	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
28	27	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
29		prmnn 16709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32		prmnn 16709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
33	32	nnred 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	34	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
36		prmnn 16709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	36	nnred 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		ltleletr 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
40	31, 35, 38, 39	syl3anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
41	40	exp4b 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
42	41	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
43	42	expdcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
44	43	com45 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
47	46	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
48	47	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))
49	48	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))
50	49	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧 ≤ 𝑛))
51	50	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑧 ≤ 𝑛)
52	28, 51	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
53	52	exp41 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
54	53	3ad2ant3 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
55	16, 54	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
56	55	3imp 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
57	15, 56	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
58	57	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
59	13, 14, 58	elrabd 3653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)})
60		elfzolt2 13675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
61	33	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
62		ltnle 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
63	62	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
64	30, 61, 63	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
65	64	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)
66	65	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
67	60, 66	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
68	59, 67	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
69	68	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
70	69	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
71	70	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
72		df-nel 3063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
73		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
75	72, 74	sylbir 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
76	71, 75	pm2.61i 183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
77	76	ralimdv2 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
78	77	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
79	8, 10, 78	jca32 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
80	79	exp31 423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
81	7, 80	biimtrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
82	81	impd 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
83	82	reximdv2 3173	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
84	3, 83	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
85	84	rexlimdv3a 3168	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
86	1, 85	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11217   ≤ cle 11218  ℕcn 12211  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840  ..^cfzo 13660  ℙcprime 16706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-prm 16707

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17094