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Theorem prmgaplem6 16042
Description: Lemma for prmgap 16045: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem6 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6
Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmunb 15900 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2 eqid 2765 . . . . 5 {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}
32prmgaplem4 16040 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧)
4 breq2 4815 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞𝑁 < 𝑝))
5 breq1 4814 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑛𝑝𝑛))
64, 5anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞𝑞𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))
76elrab 3521 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))
8 simplrl 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 simprrl 799 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
12 elfzo2 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
13 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
14 nnz 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15 prmz 15672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
16 zltp1le 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
1714, 15, 16syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
1817exbiri 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
19183ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
2120impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2524imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
26 prmnn 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
2726nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
2827ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 prmnn 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3029nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
33 prmnn 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnred 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
36 ltleletr 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝𝑝𝑛) → 𝑧𝑛))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝𝑝𝑛) → 𝑧𝑛))
3837exp4b 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛))))
39383ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛))))
4039expdcom 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛)))))
4140com45 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝𝑛 → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4241com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4443impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛))))
4544impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))
4645impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛))
4746adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧𝑛))
4847impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → 𝑧𝑛)
4925, 48jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛))
5049exp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
51503ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
5213, 51sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
53523imp 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5412, 53sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5554impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛))
56 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞𝑁 < 𝑧))
57 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞𝑛𝑧𝑛))
5856, 57anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞𝑞𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5958elrab 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
6011, 55, 59sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)})
61 elfzolt2 12690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
6230ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
63 ltnle 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑧))
6463biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝𝑧))
6527, 62, 64syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝𝑧))
6665imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝𝑧)
6766pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝𝑧𝑧 ∉ ℙ))
6861, 67sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝𝑧𝑧 ∉ ℙ))
6960, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
7069ex 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7170com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7271ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
73 df-nel 3041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
74 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∉ ℙ → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
7773, 76sylbir 226 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
7872, 77pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7978ralimdv2 3108 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
8079imp 395 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
818, 10, 80jca32 511 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
8281ex 401 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
8382ex 401 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
847, 83syl5bi 233 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
8584impd 398 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
8685reximdv2 3160 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
873, 86mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
8887rexlimdv3a 3180 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
891, 88mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wnel 3040  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  1c1 10192   + caddc 10194   < clt 10330  cle 10331  cn 11276  cz 11626  cuz 11889  ..^cfzo 12676  cprime 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-dvds 15269  df-prm 15669
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  16043
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