Theorem prmgaplem6 17076

Description: Lemma for prmgap 17079: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem6	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6

Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmunb 16934	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}
3	2	prmgaplem4 17074	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧)
4		breq2 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑝))
5		breq1 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑝 ≤ 𝑛))
6	4, 5	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
7	6	elrab 3671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))
8		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9		simprrl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞 ↔ 𝑁 < 𝑧))
12		breq1 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 ≤ 𝑛 ↔ 𝑧 ≤ 𝑛))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
14		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15		elfzo2 13679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
16		eluz2 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
17		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18		prmz 16694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
20	17, 18, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
21	20	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
22	21	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧)))
24	23	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → 𝑁 < 𝑧))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
29		prmnn 16693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
30	29	nnred 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
31	30	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
32		prmnn 16693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
33	32	nnred 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
36		prmnn 16693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
37	36	nnred 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
39		ltleletr 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
40	31, 35, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → 𝑧 ≤ 𝑛))
41	40	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
42	41	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
43	42	expdcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝 ≤ 𝑛 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
44	43	com45 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
45	44	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 ≤ 𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))))
47	46	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))))
48	47	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛)))
49	48	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → 𝑧 ≤ 𝑛))
50	49	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧 ≤ 𝑛))
51	50	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → 𝑧 ≤ 𝑛)
52	28, 51	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
53	52	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
54	53	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
55	16, 54	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))))
56	55	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
57	15, 56	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛)))
58	57	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑛))
59	13, 14, 58	elrabd 3673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)})
60		elfzolt2 13685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
61	33	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
62		ltnle 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
63	62	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
64	30, 61, 63	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧))
65	64	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑧)
66	65	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
67	60, 66	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝 ≤ 𝑧 → 𝑧 ∉ ℙ))
68	59, 67	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
69	68	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
70	69	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
71	70	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
72		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
73		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
74	73	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
75	72, 74	sylbir 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
76	71, 75	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → 𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
77	76	ralimdv2 3149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
78	77	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
79	8, 10, 78	jca32 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
80	79	exp31 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
81	7, 80	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
82	81	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
83	82	reximdv2 3150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ 𝑛)}𝑝 ≤ 𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
84	3, 83	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
85	84	rexlimdv3a 3145	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
86	1, 85	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ..^cfzo 13671  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  17077