Theorem prmndvdsfaclt 16688

Description: A prime number does not divide the factorial of a nonnegative integer less than the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prmndvdsfaclt	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))

Proof of Theorem prmndvdsfaclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12503	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		prmnn 16636	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	2	nnred 12249	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4		ltnle 11315	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
5	1, 3, 4	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
6		prmfac1 16683	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)
7	6	3exp 1117	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
8	7	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))
9	8	con3d 152	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
10	5, 9	sylbid 239	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  ℝcr 11129   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕ₀cn0 12494  !cfa 14256   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634

This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16689  gausslemma2dlem0c  27278