Theorem issqf 27207

Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
issqf	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem issqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsqf 27206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) = 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
2	1	necon3abid 2994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
3		ralnex 3089	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴)
4		1nn0 12507	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		pccl 16895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
6	5	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
7		nn0ltp1le 12641	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
9		1re 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	6	nn0red 12553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
11		ltnle 11273	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
12	9, 10, 11	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (1 < (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
13		df-2 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
14	13	breq1i 5108	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
16		nnz 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
17		2nn0 12508	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18		pcdvdsb 16915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
19	17, 18	mp3an3 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
20	15, 16, 19	syl2anr 606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (2 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
21	14, 20	bitr3id 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((1 + 1) ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
22	8, 12, 21	3bitr3d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1 ↔ (𝑝↑2) ∥ 𝐴))
23	22	con1bid 357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
24	23	ralbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
25	3, 24	bitr3id 287	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))
26	2, 25	bitrd 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((μ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   + caddc 11087   < clt 11227   ≤ cle 11228  ℕcn 12220  2c2 12282  ℕ₀cn0 12491  ℤcz 12578  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16296  ℙcprime 16715   pCnt cpc 16882  μcmu 27166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-dvds 16297  df-gcd 16539  df-prm 16716  df-pc 16883  df-mu 27172

This theorem is referenced by:  sqfpc  27208  mumullem2  27251  sqff1o  27253