Theorem minveclem3a 24496

Description: Lemma for minvec 24505. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem3a	⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
4	2, 3	cmscmet 24415	. . 3 ⊢ ((𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
6		minvec.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
7	6	reseq1i 5876	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8		minvec.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	9, 10	lssss 20113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		xpss12 5595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14	12, 12, 13	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15	14	resabs1d 5911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ↾s 𝑌) = (𝑈 ↾s 𝑌)
17		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
18	16, 17	ressds 17039	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
19	8, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
20	16, 9	ressbas2 16875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝑋 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
21	12, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
22	21	sqxpeqd 5612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
23	19, 22	reseq12d 5881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
24	15, 23	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
25	7, 24	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
26	21	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
27	5, 25, 26	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ran crn 5581   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℝcr 10801   < clt 10940  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  distcds 16897  TopOpenctopn 17049  -_gcsg 18494  LSubSpclss 20108  normcnm 23638  ℂPreHilccph 24235  CMetccmet 24323  CMetSpccms 24401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-ds 16910  df-lss 20109  df-cms 24404

This theorem is referenced by:  minveclem3  24498  minveclem4a  24499