Theorem minveclem3a 24031

Description: Lemma for minvec 24040. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem3a	⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))
3		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
4	2, 3	cmscmet 23950	. . 3 ⊢ ((𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
6		minvec.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
7	6	reseq1i 5814	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8		minvec.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
10		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	9, 10	lssss 19701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		xpss12 5534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14	12, 12, 13	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15	14	resabs1d 5849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ↾s 𝑌) = (𝑈 ↾s 𝑌)
17		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
18	16, 17	ressds 16678	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
19	8, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
20	16, 9	ressbas2 16547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝑋 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
21	12, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
22	21	sqxpeqd 5551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
23	19, 22	reseq12d 5819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
24	15, 23	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
25	7, 24	syl5eq 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
26	21	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
27	5, 25, 26	3eltr4d 2905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  infcinf 8889  ℝcr 10525   < clt 10664  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  distcds 16566  TopOpenctopn 16687  -_gcsg 18097  LSubSpclss 19696  normcnm 23183  ℂPreHilccph 23771  CMetccmet 23858  CMetSpccms 23936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-ds 16579  df-lss 19697  df-cms 23939

This theorem is referenced by:  minveclem3  24033  minveclem4a  24034