Theorem minveclem3a 25661

Description: Lemma for minvec 25670. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem3a	⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
4	2, 3	cmscmet 25580	. . 3 ⊢ ((𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
6		minvec.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
7	6	reseq1i 5972	. . 3 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8		minvec.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
10		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	9, 10	lssss 21126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	8, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
13		xpss12 5674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14	12, 12, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15	14	resabs1d 6005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ↾s 𝑌) = (𝑈 ↾s 𝑌)
17		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
18	16, 17	ressds 17501	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
19	8, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
20	16, 9	ressbas2 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝑋 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
21	12, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))
22	21	sqxpeqd 5691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
23	19, 22	reseq12d 5977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
24	15, 23	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
25	7, 24	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈 ↾s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)) × (Base‘(𝑈 ↾s 𝑌)))))
26	21	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈 ↾s 𝑌))))
27	5, 25, 26	3eltr4d 2877	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  infcinf 9415  ℝcr 11127   < clt 11271  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  distcds 17357  TopOpenctopn 17512  -_gcsg 19065  LSubSpclss 21121  normcnm 24808  ℂPreHilccph 25400  CMetccmet 25488  CMetSpccms 25566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-ds 17370  df-lss 21122  df-cms 25569

This theorem is used by:  minveclem3  25663  minveclem4a  25664