MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem3a 25176
Description: Lemma for minvec 25185. 𝐷 is a complete metric when restricted to π‘Œ. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem3a (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆
Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
2 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) = (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))
3 eqid 2731 . . . 4 ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))) = ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))))
42, 3cmscmet 25095 . . 3 ((π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp β†’ ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))))
51, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))))
6 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
76reseq1i 5977 . . 3 (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = (((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
8 minvec.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 eqid 2731 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
119, 10lssss 20692 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
13 xpss12 5691 . . . . . 6 ((π‘Œ βŠ† 𝑋 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
1412, 12, 13syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
1514resabs1d 6012 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
16 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) = (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)
17 eqid 2731 . . . . . . 7 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
1816, 17ressds 17360 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))
198, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))
2016, 9ressbas2 17187 . . . . . . 7 (π‘Œ βŠ† 𝑋 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))
2112, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))
2221sqxpeqd 5708 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) = ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))))
2319, 22reseq12d 5982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))))
2415, 23eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))))
257, 24eqtrid 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((distβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) β†Ύ ((Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)) Γ— (Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ)))))
2621fveq2d 6895 . 2 (πœ‘ β†’ (CMetβ€˜π‘Œ) = (CMetβ€˜(Baseβ€˜(π‘ˆ β†Ύs π‘Œ))))
275, 25, 263eltr4d 2847 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9440  β„cr 11113   < clt 11253  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  distcds 17211  TopOpenctopn 17372  -gcsg 18858  LSubSpclss 20687  normcnm 24306  β„‚PreHilccph 24915  CMetccmet 25003  CMetSpccms 25081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-ds 17224  df-lss 20688  df-cms 25084
This theorem is referenced by:  minveclem3  25178  minveclem4a  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator