MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3a 24033
Description: Lemma for minvec 24042. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem3a (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(𝑈s 𝑌)) = (Base‘(𝑈s 𝑌))
3 eqid 2824 . . . 4 ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
42, 3cmscmet 23952 . . 3 ((𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
6 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
76reseq1i 5852 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8 minvec.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
10 eqid 2824 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
119, 10lssss 19711 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
13 xpss12 5573 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝑌𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1412, 12, 13syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1514resabs1d 5887 . . . 4 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑈s 𝑌) = (𝑈s 𝑌)
17 eqid 2824 . . . . . . 7 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1816, 17ressds 16689 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
198, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
2016, 9ressbas2 16558 . . . . . . 7 (𝑌𝑋𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2112, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2221sqxpeqd 5590 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
2319, 22reseq12d 5857 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2415, 23eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
257, 24syl5eq 2871 . 2 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2621fveq2d 6677 . 2 (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
275, 25, 263eltr4d 2931 1 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2113  wss 3939  cmpt 5149   × cxp 5556  ran crn 5559  cres 5560  cfv 6358  (class class class)co 7159  infcinf 8908  cr 10539   < clt 10678  Basecbs 16486  s cress 16487  distcds 16577  TopOpenctopn 16698  -gcsg 18108  LSubSpclss 19706  normcnm 23189  ℂPreHilccph 23773  CMetccmet 23860  CMetSpccms 23938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-ds 16590  df-lss 19707  df-cms 23941
This theorem is referenced by:  minveclem3  24035  minveclem4a  24036
  Copyright terms: Public domain W3C validator