MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3a 23596
Description: Lemma for minvec 23605. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem3a (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
2 eqid 2826 . . . 4 (Base‘(𝑈s 𝑌)) = (Base‘(𝑈s 𝑌))
3 eqid 2826 . . . 4 ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
42, 3cmscmet 23515 . . 3 ((𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
6 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
76reseq1i 5626 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8 minvec.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
10 eqid 2826 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
119, 10lssss 19294 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
13 xpss12 5358 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝑌𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1412, 12, 13syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1514resabs1d 5665 . . . 4 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑈s 𝑌) = (𝑈s 𝑌)
17 eqid 2826 . . . . . . 7 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1816, 17ressds 16427 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
198, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
2016, 9ressbas2 16295 . . . . . . 7 (𝑌𝑋𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2112, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2221sqxpeqd 5375 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
2319, 22reseq12d 5631 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2415, 23eqtrd 2862 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
257, 24syl5eq 2874 . 2 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2621fveq2d 6438 . 2 (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
275, 25, 263eltr4d 2922 1 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3799  cmpt 4953   × cxp 5341  ran crn 5344  cres 5345  cfv 6124  (class class class)co 6906  infcinf 8617  cr 10252   < clt 10392  Basecbs 16223  s cress 16224  distcds 16315  TopOpenctopn 16436  -gcsg 17779  LSubSpclss 19289  normcnm 22752  ℂPreHilccph 23336  CMetccmet 23423  CMetSpccms 23501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-ds 16328  df-lss 19290  df-cms 23504
This theorem is referenced by:  minveclem3  23598  minveclem4a  23599
  Copyright terms: Public domain W3C validator