Theorem minvec 25576

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minvec	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minvec

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
2		minvec.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
3		minvec.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
4		minvec.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5		minvec.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
7		minvec.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2763	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
9		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − 𝑦))
10	9	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴 − 𝑗)) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	10	cbvmptv 5216	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
12	11	rneqi 5929	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
13		eqid 2763	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < )
14		eqid 2763	. 2 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14	minveclem7 25575	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  infcinf 9402  ℝcr 11100   < clt 11244   ≤ cle 11245  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  distcds 17320  TopOpenctopn 17475  -_gcsg 19003  LSubSpclss 21033  normcnm 24714  ℂPreHilccph 25306  CMetSpccms 25472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17476  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-staf 20923  df-srng 20924  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lmhm 21124  df-lvec 21205  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-phl 21757  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-haus 23453  df-fil 23984  df-flim 24077  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nlm 24724  df-clm 25203  df-cph 25308  df-cfil 25395  df-cmet 25397  df-cms 25475

This theorem is referenced by:  pjthlem2  25578