MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvec 25177
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace π‘Š that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
minvec (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦

Proof of Theorem minvec
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 minvec.m . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5 minvec.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6 minvec.w . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 eqid 2732 . 2 (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
9 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑗) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))
109fveq2d 6895 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑗)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
1110cbvmptv 5261 . . 3 (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑗))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
1211rneqi 5936 . 2 ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑗))) = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
13 eqid 2732 . 2 inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑗))), ℝ, < )
14 eqid 2732 . 2 ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 25176 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3374   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„cr 11111   < clt 11252   ≀ cle 11253  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  distcds 17210  TopOpenctopn 17371  -gcsg 18857  LSubSpclss 20686  normcnm 24305  β„‚PreHilccph 24907  CMetSpccms 25073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-haus 23039  df-fil 23570  df-flim 23663  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nlm 24315  df-clm 24803  df-cph 24909  df-cfil 24996  df-cmet 24998  df-cms 25076
This theorem is referenced by:  pjthlem2  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator