Theorem minvec 24882

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minvec	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minvec

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
2		minvec.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
3		minvec.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
4		minvec.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5		minvec.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
7		minvec.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2731	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
9		oveq2 7401	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − 𝑦))
10	9	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴 − 𝑗)) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	10	cbvmptv 5254	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
12	11	rneqi 5928	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
13		eqid 2731	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < )
14		eqid 2731	. 2 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14	minveclem7 24881	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  ran crn 5670   ↾ cres 5671  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  infcinf 9418  ℝcr 11091   < clt 11230   ≤ cle 11231  Basecbs 17126   ↾_s cress 17155  distcds 17188  TopOpenctopn 17349  -_gcsg 18796  LSubSpclss 20491  normcnm 24014  ℂPreHilccph 24612  CMetSpccms 24778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-0g 17369  df-topgen 17371  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-staf 20402  df-srng 20403  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lmhm 20582  df-lvec 20663  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-phl 21112  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-haus 22748  df-fil 23279  df-flim 23372  df-xms 23755  df-ms 23756  df-nm 24020  df-ngp 24021  df-nlm 24024  df-clm 24508  df-cph 24614  df-cfil 24701  df-cmet 24703  df-cms 24781

This theorem is referenced by:  pjthlem2  24884