MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvec 25484
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
minvec (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minvec
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . 2 = (-g𝑈)
3 minvec.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . 2 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 eqid 2735 . 2 (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
9 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 → (𝐴 𝑗) = (𝐴 𝑦))
109fveq2d 6911 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴 𝑗)) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
1110cbvmptv 5261 . . 3 (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑗))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
1211rneqi 5951 . 2 ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑗))) = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
13 eqid 2735 . 2 inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑗))), ℝ, < )
14 eqid 2735 . 2 ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 25483 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  Basecbs 17245  s cress 17274  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  -gcsg 18966  LSubSpclss 20947  normcnm 24605  ℂPreHilccph 25214  CMetSpccms 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-phl 21662  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-haus 23339  df-fil 23870  df-flim 23963  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nlm 24615  df-clm 25110  df-cph 25216  df-cfil 25303  df-cmet 25305  df-cms 25383
This theorem is referenced by:  pjthlem2  25486
  Copyright terms: Public domain W3C validator