Theorem minvec 25670

Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
minvec	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minvec

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
2		minvec.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
3		minvec.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
4		minvec.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5		minvec.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.w	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
7		minvec.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eqid 2762	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
9		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑗) = (𝐴 − 𝑦))
10	9	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴 − 𝑗)) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11	10	cbvmptv 5213	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
12	11	rneqi 5925	. 2 ⊢ ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))) = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
13		eqid 2762	. 2 ⊢ inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑗))), ℝ, < )
14		eqid 2762	. 2 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14	minveclem7 25669	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ran crn 5660   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  infcinf 9415  ℝcr 11127   < clt 11271   ≤ cle 11272  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  distcds 17357  TopOpenctopn 17512  -_gcsg 19065  LSubSpclss 21121  normcnm 24808  ℂPreHilccph 25400  CMetSpccms 25566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-rest 17513  df-0g 17532  df-topgen 17534  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-staf 21011  df-srng 21012  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lmhm 21212  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-phl 21845  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-haus 23546  df-fil 24078  df-flim 24171  df-xms 24552  df-ms 24553  df-nm 24814  df-ngp 24815  df-nlm 24818  df-clm 25297  df-cph 25402  df-cfil 25489  df-cmet 25491  df-cms 25569

This theorem is used by:  pjthlem2  25672