Theorem cnfldadd 20883

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 12954	. 2 ⊢ + ∈ V
2		cnfldstr 20880	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		plusgid 17206	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		snsstp2 4813	. . . 4 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4168	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4168	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20879	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 4015	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3987	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3987	. . 3 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 17119	. 2 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ∪ cun 3942  {csn 4622  {ctp 4626  ⟨cop 4628   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6532  ℂcc 11090  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   ≤ cle 11231   − cmin 11426  3c3 12250  ;cdc 12659  ∗ccj 15025  abscabs 15163  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  *_𝑟cstv 17181  TopSetcts 17185  lecple 17186  distcds 17188  UnifSetcunif 17189  MetOpencmopn 20868  metUnifcmetu 20869  ℂ_fldccnfld 20878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-cnfld 20879

This theorem is referenced by:  cncrng  20900  cnfld0  20903  cnfldneg  20905  cnfldplusf  20906  cnfldsub  20907  cnfldmulg  20911  cnsrng  20913  cnsubmlem  20927  cnsubglem  20928  absabv  20936  cnsubrg  20939  gsumfsum  20946  regsumfsum  20947  expmhm  20948  nn0srg  20949  rge0srg  20950  zringplusg  20958  replusg  21096  regsumsupp  21108  mhpmulcl  21621  clmadd  24519  clmacl  24529  isclmp  24542  cnlmod  24585  cnncvsaddassdemo  24609  cphsqrtcl2  24632  ipcau2  24680  tdeglem3  25504  tdeglem3OLD  25505  tdeglem4  25506  tdeglem4OLD  25507  taylply2  25809  efgh  25979  efabl  25988  jensenlem1  26418  jensenlem2  26419  amgmlem  26421  qabvle  27055  padicabv  27060  ostth2lem2  27064  ostth3  27068  xrge0slmod  32325  ccfldsrarelvec  32583  ccfldextdgrr  32584  qqhghm  32799  qqhrhm  32800  esumpfinvallem  32903  mhphflem  40956  fsumcnsrcl  41679  rngunsnply  41686  deg1mhm  41720  amgm2d  42721  amgm3d  42722  amgm4d  42723  sge0tsms  44869  cnfldsrngadd  46312  aacllem  47496  amgmw2d  47499