MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldadd 20099
Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldadd + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd
StepHypRef Expression
1 addex 12379 . 2 + ∈ V
2 cnfldstr 20096 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 plusgid 16591 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
4 snsstp2 4713 . . . 4 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 4102 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 4102 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 20095 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtrri 3955 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3927 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3927 . . 3 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 16526 . 2 ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 + = (+g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cun 3882  {csn 4528  {ctp 4532  cop 4534  ccom 5527  cfv 6328  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cle 10669  cmin 10863  3c3 11685  cdc 12090  ccj 14450  abscabs 14588  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  *𝑟cstv 16562  TopSetcts 16566  lecple 16567  distcds 16569  UnifSetcunif 16570  MetOpencmopn 20084  metUnifcmetu 20085  fldccnfld 20094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-cnfld 20095
This theorem is referenced by:  cncrng  20115  cnfld0  20118  cnfldneg  20120  cnfldplusf  20121  cnfldsub  20122  cnfldmulg  20126  cnsrng  20128  cnsubmlem  20142  cnsubglem  20143  absabv  20151  cnsubrg  20154  gsumfsum  20161  regsumfsum  20162  expmhm  20163  nn0srg  20164  rge0srg  20165  zringplusg  20173  replusg  20302  regsumsupp  20314  clmadd  23682  clmacl  23692  isclmp  23705  cnlmod  23748  cnncvsaddassdemo  23771  cphsqrtcl2  23794  ipcau2  23841  tdeglem3  24663  tdeglem4  24664  taylply2  24966  efgh  25136  efabl  25145  jensenlem1  25575  jensenlem2  25576  amgmlem  25578  qabvle  26212  padicabv  26217  ostth2lem2  26221  ostth3  26225  xrge0slmod  30971  ccfldsrarelvec  31144  ccfldextdgrr  31145  qqhghm  31337  qqhrhm  31338  esumpfinvallem  31441  fsumcnsrcl  40097  rngunsnply  40104  deg1mhm  40138  amgm2d  40891  amgm3d  40892  amgm4d  40893  sge0tsms  43006  cnfldsrngadd  44377  aacllem  45316  amgmw2d  45319
  Copyright terms: Public domain W3C validator