Theorem cnfldadd 21594

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21589. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-addf 11206	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6703	. . . 4 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7545	. . 3 ⊢ ( + Fn (ℂ × ℂ) ↔ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))
6		mpocnfldadd 21593	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2783	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ℂcc 11125   + caddc 11130  +_gcplusg 17345  ℂ_fldccnfld 21588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-cnfld 21589

This theorem is used by:  cncrng  21609  cnfld0  21612  cnfldneg  21614  cnfldplusf  21615  cnfldsub  21616  cnfldmulg  21620  cnsrng  21622  cnsubmlem  21631  cnsubglem  21632  absabv  21640  cnsubrg  21643  gsumfsum  21650  regsumfsum  21651  expmhm  21652  nn0srg  21653  rge0srg  21654  zringplusg  21670  replusg  21826  regsumsupp  21838  mhpmulcl  22380  clmadd  25305  clmacl  25315  isclmp  25328  cnlmod  25371  cnncvsaddassdemo  25394  cphsqrtcl2  25417  ipcau2  25465  tdeglem3  26287  tdeglem4  26288  taylply2  26607  efgh  26781  efabl  26790  jensenlem1  27226  jensenlem2  27227  qabvle  27864  padicabv  27869  ostth2lem2  27873  ostth3  27877  gsumzrsum  33508  xrge0slmod  33791  zringfrac  33967  psrmonprod  34065  ccfldsrarelvec  34184  ccfldextdgrr  34185  constrelextdg2  34260  constrsdrg  34288  2sqr3minply  34293  cos9thpiminplylem6  34300  cos9thpiminply  34301  qqhghm  34501  qqhrhm  34502  esumpfinvallem  34587  mhphflem  43445  fsumcnsrcl  44010  rngunsnply  44013  deg1mhm  44044  amgm2d  45041  amgm3d  45042  amgm4d  45043  sge0tsms  47211  cnfldsrngadd  49080  aacllem  50775  amgmw2d  50825