Theorem cnfldadd 21582

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21577. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-addf 11198	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7550	. . 3 ⊢ ( + Fn (ℂ × ℂ) ↔ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))
6		mpocnfldadd 21581	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2788	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ℂcc 11117   + caddc 11122  +_gcplusg 17336  ℂ_fldccnfld 21576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-cnfld 21577

This theorem is used by:  cncrng  21597  cnfld0  21600  cnfldneg  21602  cnfldplusf  21603  cnfldsub  21604  cnfldmulg  21608  cnsrng  21610  cnsubmlem  21619  cnsubglem  21620  absabv  21628  cnsubrg  21631  gsumfsum  21638  regsumfsum  21639  expmhm  21640  nn0srg  21641  rge0srg  21642  zringplusg  21658  replusg  21814  regsumsupp  21826  mhpmulcl  22366  clmadd  25288  clmacl  25298  isclmp  25311  cnlmod  25354  cnncvsaddassdemo  25377  cphsqrtcl2  25400  ipcau2  25448  tdeglem3  26271  tdeglem4  26272  taylply2  26586  efgh  26761  efabl  26770  jensenlem1  27206  jensenlem2  27207  qabvle  27844  padicabv  27849  ostth2lem2  27853  ostth3  27857  gsumzrsum  33453  xrge0slmod  33736  zringfrac  33912  psrmonprod  34010  ccfldsrarelvec  34129  ccfldextdgrr  34130  constrelextdg2  34205  constrsdrg  34233  2sqr3minply  34238  cos9thpiminplylem6  34245  cos9thpiminply  34246  qqhghm  34446  qqhrhm  34447  esumpfinvallem  34532  mhphflem  43405  fsumcnsrcl  43970  rngunsnply  43973  deg1mhm  44004  amgm2d  45001  amgm3d  45002  amgm4d  45003  sge0tsms  47171  cnfldsrngadd  49003  aacllem  50697  amgmw2d  50728