Theorem cnfldadd 21270

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21265. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-addf 11147	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6688	. . . 4 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7520	. . 3 ⊢ ( + Fn (ℂ × ℂ) ↔ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))
6		mpocnfldadd 21269	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2752	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066   + caddc 11071  +_gcplusg 17220  ℂ_fldccnfld 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-cnfld 21265

This theorem is referenced by:  cncrng  21300  cncrngOLD  21301  cnfld0  21304  cnfldneg  21307  cnfldplusf  21308  cnfldsub  21309  cnfldmulg  21315  cnsrng  21317  cnsubmlem  21331  cnsubglem  21332  absabv  21341  cnsubrg  21344  gsumfsum  21351  regsumfsum  21352  expmhm  21353  nn0srg  21354  rge0srg  21355  zringplusg  21364  replusg  21519  regsumsupp  21531  mhpmulcl  22036  clmadd  24974  clmacl  24984  isclmp  24997  cnlmod  25040  cnncvsaddassdemo  25063  cphsqrtcl2  25086  ipcau2  25134  tdeglem3  25964  tdeglem4  25965  taylply2  26275  taylply2OLD  26276  efgh  26450  efabl  26459  jensenlem1  26897  jensenlem2  26898  qabvle  27536  padicabv  27541  ostth2lem2  27545  ostth3  27549  gsumzrsum  32999  xrge0slmod  33319  zringfrac  33525  ccfldsrarelvec  33666  ccfldextdgrr  33667  constrelextdg2  33737  constrsdrg  33765  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem6  33777  cos9thpiminply  33778  qqhghm  33978  qqhrhm  33979  esumpfinvallem  34064  mhphflem  42584  fsumcnsrcl  43155  rngunsnply  43158  deg1mhm  43189  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189  sge0tsms  46378  cnfldsrngadd  48150  aacllem  49790  amgmw2d  49793