Theorem cnfldadd 20602

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addex 12728	. 2 ⊢ + ∈ V
2		cnfldstr 20599	. . 3 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
3		plusgid 16989	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4		snsstp2 4750	. . . 4 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5		ssun1 4106	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6		ssun1 4106	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7		df-cnfld 20598	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
8	6, 7	sseqtrri 3958	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
9	5, 8	sstri 3930	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
10	4, 9	sstri 3930	. . 3 ⊢ {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 16905	. 2 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
12	1, 11	ax-mp 5	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  {csn 4561  {ctp 4565  ⟨cop 4567   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  3c3 12029  ;cdc 12437  ∗ccj 14807  abscabs 14945  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  *_𝑟cstv 16964  TopSetcts 16968  lecple 16969  distcds 16971  UnifSetcunif 16972  MetOpencmopn 20587  metUnifcmetu 20588  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  cncrng  20619  cnfld0  20622  cnfldneg  20624  cnfldplusf  20625  cnfldsub  20626  cnfldmulg  20630  cnsrng  20632  cnsubmlem  20646  cnsubglem  20647  absabv  20655  cnsubrg  20658  gsumfsum  20665  regsumfsum  20666  expmhm  20667  nn0srg  20668  rge0srg  20669  zringplusg  20677  replusg  20815  regsumsupp  20827  mhpmulcl  21339  clmadd  24237  clmacl  24247  isclmp  24260  cnlmod  24303  cnncvsaddassdemo  24327  cphsqrtcl2  24350  ipcau2  24398  tdeglem3  25222  tdeglem3OLD  25223  tdeglem4  25224  tdeglem4OLD  25225  taylply2  25527  efgh  25697  efabl  25706  jensenlem1  26136  jensenlem2  26137  amgmlem  26139  qabvle  26773  padicabv  26778  ostth2lem2  26782  ostth3  26786  xrge0slmod  31548  ccfldsrarelvec  31741  ccfldextdgrr  31742  qqhghm  31938  qqhrhm  31939  esumpfinvallem  32042  mhphflem  40284  fsumcnsrcl  40991  rngunsnply  40998  deg1mhm  41032  amgm2d  41809  amgm3d  41810  amgm4d  41811  sge0tsms  43918  cnfldsrngadd  45324  aacllem  46505  amgmw2d  46508