Theorem cnfldadd 21267

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21262. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-addf 11088	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6652	. . . 4 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7480	. . 3 ⊢ ( + Fn (ℂ × ℂ) ↔ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))
6		mpocnfldadd 21266	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2752	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1540   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ℂcc 11007   + caddc 11012  +_gcplusg 17161  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  cncrng  21295  cncrngOLD  21296  cnfld0  21299  cnfldneg  21302  cnfldplusf  21303  cnfldsub  21304  cnfldmulg  21310  cnsrng  21312  cnsubmlem  21321  cnsubglem  21322  absabv  21331  cnsubrg  21334  gsumfsum  21341  regsumfsum  21342  expmhm  21343  nn0srg  21344  rge0srg  21345  zringplusg  21361  replusg  21517  regsumsupp  21529  mhpmulcl  22034  clmadd  24972  clmacl  24982  isclmp  24995  cnlmod  25038  cnncvsaddassdemo  25061  cphsqrtcl2  25084  ipcau2  25132  tdeglem3  25962  tdeglem4  25963  taylply2  26273  taylply2OLD  26274  efgh  26448  efabl  26457  jensenlem1  26895  jensenlem2  26896  qabvle  27534  padicabv  27539  ostth2lem2  27543  ostth3  27547  gsumzrsum  33013  xrge0slmod  33286  zringfrac  33492  ccfldsrarelvec  33644  ccfldextdgrr  33645  constrelextdg2  33720  constrsdrg  33748  2sqr3minply  33753  cos9thpiminplylem6  33760  cos9thpiminply  33761  qqhghm  33961  qqhrhm  33962  esumpfinvallem  34047  mhphflem  42579  fsumcnsrcl  43149  rngunsnply  43152  deg1mhm  43183  amgm2d  44181  amgm3d  44182  amgm4d  44183  sge0tsms  46371  cnfldsrngadd  48156  aacllem  49796  amgmw2d  49799