Theorem cnfldadd 21354

Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21349. (Revised by GG, 27-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldadd	⊢ + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-addf 11112	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		ffn 6664	. . . 4 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
4		fnov 7493	. . 3 ⊢ ( + Fn (ℂ × ℂ) ↔ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)))
5	3, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ + = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))
6		mpocnfldadd 21353	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (+g‘ℂfld)
7	5, 6	eqtri 2760	1 ⊢ + = (+g‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1542   × cxp 5624   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  ℂcc 11031   + caddc 11036  +_gcplusg 17215  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-cnfld 21349

This theorem is referenced by:  cncrng  21382  cncrngOLD  21383  cnfld0  21386  cnfldneg  21389  cnfldplusf  21390  cnfldsub  21391  cnfldmulg  21397  cnsrng  21399  cnsubmlem  21408  cnsubglem  21409  absabv  21418  cnsubrg  21421  gsumfsum  21428  regsumfsum  21429  expmhm  21430  nn0srg  21431  rge0srg  21432  zringplusg  21448  replusg  21604  regsumsupp  21616  mhpmulcl  22129  clmadd  25055  clmacl  25065  isclmp  25078  cnlmod  25121  cnncvsaddassdemo  25144  cphsqrtcl2  25167  ipcau2  25215  tdeglem3  26038  tdeglem4  26039  taylply2  26348  taylply2OLD  26349  efgh  26522  efabl  26531  jensenlem1  26968  jensenlem2  26969  qabvle  27606  padicabv  27611  ostth2lem2  27615  ostth3  27619  gsumzrsum  33145  xrge0slmod  33427  zringfrac  33633  psrmonprod  33715  ccfldsrarelvec  33835  ccfldextdgrr  33836  constrelextdg2  33911  constrsdrg  33939  2sqr3minply  33944  cos9thpiminplylem6  33951  cos9thpiminply  33952  qqhghm  34152  qqhrhm  34153  esumpfinvallem  34238  mhphflem  43047  fsumcnsrcl  43616  rngunsnply  43619  deg1mhm  43650  amgm2d  44647  amgm3d  44648  amgm4d  44649  sge0tsms  46830  cnfldsrngadd  48654  aacllem  50292  amgmw2d  50295