MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldstr 21242
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) Revise df-cnfld 21241. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr fld Struct ⟨1, 13⟩

Proof of Theorem cnfldstr
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 21241 . 2 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2 eqid 2726 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
32srngstr 17263 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4 9nn 12314 . . . . 5 9 ∈ ℕ
5 tsetndx 17306 . . . . 5 (TopSet‘ndx) = 9
6 9lt10 12812 . . . . 5 9 < 10
7 10nn 12697 . . . . 5 10 ∈ ℕ
8 plendx 17320 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
9 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
10 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
11 2nn 12289 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
12 2pos 12319 . . . . . 6 0 < 2
139, 10, 11, 12declt 12709 . . . . 5 10 < 12
149, 11decnncl 12701 . . . . 5 12 ∈ ℕ
15 dsndx 17339 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
164, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15strle3 17102 . . . 4 {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, 12⟩
17 3nn 12295 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
189, 17decnncl 12701 . . . . 5 13 ∈ ℕ
19 unifndx 17349 . . . . 5 (UnifSet‘ndx) = 13
2018, 19strle1 17100 . . . 4 {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨13, 13⟩
21 2nn0 12493 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
22 2lt3 12388 . . . . 5 2 < 3
239, 21, 17, 22declt 12709 . . . 4 12 < 13
2416, 20, 23strleun 17099 . . 3 ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, 13⟩
25 4lt9 12419 . . 3 4 < 9
263, 24, 25strleun 17099 . 2 (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 + 𝑣))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, 13⟩
271, 26eqbrtri 5162 1 fld Struct ⟨1, 13⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  cun 3941  {csn 4623  {ctp 4627  cop 4629   class class class wbr 5141  ccom 5673  cfv 6537  (class class class)co 7405  cmpo 7407  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cle 11253  cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  9c9 12278  cdc 12681  ccj 15049  abscabs 15187   Struct cstr 17088  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  *𝑟cstv 17208  TopSetcts 17212  lecple 17213  distcds 17215  UnifSetcunif 17216  MetOpencmopn 21230  metUnifcmetu 21231  fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  cnfldbas  21244  mpocnfldadd  21245  mpocnfldmul  21247  cnfldcj  21249  cnfldtset  21250  cnfldle  21251  cnfldds  21252  cnfldunif  21253  cnfldfun  21254  cffldtocusgr  29212  cffldtocusgrOLD  29213
  Copyright terms: Public domain W3C validator