Theorem cnfldstr 20946

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 20945	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17254	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12310	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17297	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12808	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12693	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17311	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12488	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12315	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12705	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12697	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17330	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17093	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12291	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12697	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17340	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17091	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12384	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12705	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17090	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12415	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17090	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5170	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3947  {csn 4629  {ctp 4633  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   ≤ cle 11249   − cmin 11444  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  9c9 12274  ;cdc 12677  ∗ccj 15043  abscabs 15181   Struct cstr 17079  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  *_𝑟cstv 17199  TopSetcts 17203  lecple 17204  distcds 17206  UnifSetcunif 17207  MetOpencmopn 20934  metUnifcmetu 20935  ℂ_fldccnfld 20944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-cnfld 20945

This theorem is referenced by:  cnfldex  20947  cnfldbas  20948  cnfldadd  20949  cnfldmul  20950  cnfldcj  20951  cnfldtset  20952  cnfldle  20953  cnfldds  20954  cnfldunif  20955  cnfldfun  20956  cffldtocusgr  28704