Theorem cnfldstr 21236

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 21235	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3	2	srngstr 17261	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4		9nn 12317	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 17304	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 12815	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 12700	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 17318	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 12292	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 12322	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 12712	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 12704	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 17337	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 17100	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3nn 12298	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
18	9, 17	decnncl 12704	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ
19		unifndx 17347	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
20	18, 19	strle1 17098	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
21		2nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		2lt3 12391	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
23	9, 21, 17, 22	declt 12712	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
24	16, 20, 23	strleun 17097	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
25		4lt9 12422	. . 3 ⊢ 4 < 9
26	3, 24, 25	strleun 17097	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
27	1, 26	eqbrtri 5169	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:   ∪ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   ≤ cle 11256   − cmin 11451  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  9c9 12281  ;cdc 12684  ∗ccj 15050  abscabs 15188   Struct cstr 17086  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  *_𝑟cstv 17206  TopSetcts 17210  lecple 17211  distcds 17213  UnifSetcunif 17214  MetOpencmopn 21224  metUnifcmetu 21225  ℂ_fldccnfld 21234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-cnfld 21235

This theorem is referenced by:  cnfldex  21237  cnfldbas  21238  cnfldadd  21239  cnfldmul  21240  cnfldcj  21241  cnfldtset  21242  cnfldle  21243  cnfldds  21244  cnfldunif  21245  cnfldfun  21246  cffldtocusgr  29139  gg-cnfldbas  35639  mpocnfldadd  35640  mpocnfldmul  35641  gg-cnfldcj  35642  gg-cnfldtset  35643  gg-cnfldle  35644  gg-cnfldds  35645  gg-cnfldunif  35646  gg-cnfldfun  35647  gg-cffldtocusgr  35649