Theorem vhmcls 35560

Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c	⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
mclsval.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
ssmclslem.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
vhmcls.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
vhmcls.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
vhmcls	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem vhmcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2		mclsval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mclsval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
4		mclsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
5		mclsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
6		mclsval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
7		ssmclslem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ssmclslem 35559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
9	8	unssbd 4160	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
10		vhmcls.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
11	10, 2, 7	mvhf 35552	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
12		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝑉⟶𝐸 → 𝐻 Fn 𝑉)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		vhmcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		fnfvelrn 7055	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
17	9, 16	sseldd 3950	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  mVRcmvar 35455  mExcmex 35461  mDVcmdv 35462  mVHcmvh 35466  mFScmfs 35470  mClscmcls 35471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-frmd 18783  df-mrex 35480  df-mex 35481  df-mrsub 35484  df-msub 35485  df-mvh 35486  df-mpst 35487  df-msr 35488  df-msta 35489  df-mfs 35490  df-mcls 35491

This theorem is referenced by: (None)