Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vhmcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vhmcls 35085
Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
ssmclslem.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
vhmcls.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
vhmcls.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
vhmcls (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (𝐾𝐢𝐡))

Proof of Theorem vhmcls
StepHypRef Expression
1 mclsval.d . . . 4 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2 mclsval.e . . . 4 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
3 mclsval.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
4 mclsval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
5 mclsval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
6 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
7 ssmclslem.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ssmclslem 35084 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐾𝐢𝐡))
98unssbd 4183 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (𝐾𝐢𝐡))
10 vhmcls.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
1110, 2, 7mvhf 35077 . . . 4 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
12 ffn 6710 . . . 4 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
134, 11, 123syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 vhmcls.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 fnfvelrn 7075 . . 3 ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐻)
1613, 14, 15syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐻)
179, 16sseldd 3978 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  mVRcmvar 34980  mExcmex 34986  mDVcmdv 34987  mVHcmvh 34991  mFScmfs 34995  mClscmcls 34996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-frmd 18772  df-mrex 35005  df-mex 35006  df-mrsub 35009  df-msub 35010  df-mvh 35011  df-mpst 35012  df-msr 35013  df-msta 35014  df-mfs 35015  df-mcls 35016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator