Theorem vhmcls 34557

Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c	⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
mclsval.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
ssmclslem.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
vhmcls.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
vhmcls.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
vhmcls	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem vhmcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2		mclsval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mclsval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
4		mclsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
5		mclsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
6		mclsval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
7		ssmclslem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ssmclslem 34556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
9	8	unssbd 4189	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
10		vhmcls.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
11	10, 2, 7	mvhf 34549	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
12		ffn 6718	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝑉⟶𝐸 → 𝐻 Fn 𝑉)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		vhmcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		fnfvelrn 7083	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
16	13, 14, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
17	9, 16	sseldd 3984	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  mVRcmvar 34452  mExcmex 34458  mDVcmdv 34459  mVHcmvh 34463  mFScmfs 34467  mClscmcls 34468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-mrex 34477  df-mex 34478  df-mrsub 34481  df-msub 34482  df-mvh 34483  df-mpst 34484  df-msr 34485  df-msta 34486  df-mfs 34487  df-mcls 34488

This theorem is referenced by: (None)