Theorem vhmcls 35760

Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c	⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
mclsval.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
ssmclslem.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
vhmcls.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
vhmcls.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
vhmcls	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem vhmcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2		mclsval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mclsval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
4		mclsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
5		mclsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
6		mclsval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
7		ssmclslem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ssmclslem 35759	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
9	8	unssbd 4146	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
10		vhmcls.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
11	10, 2, 7	mvhf 35752	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
12		ffn 6662	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝑉⟶𝐸 → 𝐻 Fn 𝑉)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		vhmcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		fnfvelrn 7025	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
17	9, 16	sseldd 3934	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  mVRcmvar 35655  mExcmex 35661  mDVcmdv 35662  mVHcmvh 35666  mFScmfs 35670  mClscmcls 35671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-frmd 18774  df-mrex 35680  df-mex 35681  df-mrsub 35684  df-msub 35685  df-mvh 35686  df-mpst 35687  df-msr 35688  df-msta 35689  df-mfs 35690  df-mcls 35691

This theorem is referenced by: (None)