Theorem vhmcls 35551

Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c	⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
mclsval.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
ssmclslem.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
vhmcls.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
vhmcls.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
vhmcls	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Proof of Theorem vhmcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2		mclsval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mclsval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (mCls‘𝑇)
4		mclsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ mFS)
5		mclsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝐷)
6		mclsval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐸)
7		ssmclslem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ssmclslem 35550	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
9	8	unssbd 4204	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (𝐾𝐶𝐵))
10		vhmcls.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
11	10, 2, 7	mvhf 35543	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
12		ffn 6737	. . . 4 ⊢ (𝐻:𝑉⟶𝐸 → 𝐻 Fn 𝑉)
13	4, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝑉)
14		vhmcls.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		fnfvelrn 7100	. . 3 ⊢ ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ ran 𝐻)
17	9, 16	sseldd 3996	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (𝐾𝐶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ran crn 5690   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  mVRcmvar 35446  mExcmex 35452  mDVcmdv 35453  mVHcmvh 35457  mFScmfs 35461  mClscmcls 35462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-mrex 35471  df-mex 35472  df-mrsub 35475  df-msub 35476  df-mvh 35477  df-mpst 35478  df-msr 35479  df-msta 35480  df-mfs 35481  df-mcls 35482

This theorem is referenced by: (None)