Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vhmcls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vhmcls 35176
Description: All variable hypotheses are in the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
ssmclslem.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
vhmcls.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
vhmcls.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
vhmcls (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (𝐾𝐢𝐡))

Proof of Theorem vhmcls
StepHypRef Expression
1 mclsval.d . . . 4 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2 mclsval.e . . . 4 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
3 mclsval.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
4 mclsval.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
5 mclsval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
6 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
7 ssmclslem.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ssmclslem 35175 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐾𝐢𝐡))
98unssbd 4188 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (𝐾𝐢𝐡))
10 vhmcls.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
1110, 2, 7mvhf 35168 . . . 4 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
12 ffn 6722 . . . 4 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
134, 11, 123syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
14 vhmcls.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 fnfvelrn 7090 . . 3 ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐻)
1613, 14, 15syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ ran 𝐻)
179, 16sseldd 3981 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  ran crn 5679   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  mVRcmvar 35071  mExcmex 35077  mDVcmdv 35078  mVHcmvh 35082  mFScmfs 35086  mClscmcls 35087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-frmd 18801  df-mrex 35096  df-mex 35097  df-mrsub 35100  df-msub 35101  df-mvh 35102  df-mpst 35103  df-msr 35104  df-msta 35105  df-mfs 35106  df-mcls 35107
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator