Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff1o 32914
 Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is bijective to the set of all substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff1.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff1.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff1.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubff1o (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Proof of Theorem msubff1o
StepHypRef Expression
1 msubff1.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 msubff1.r . . . 4 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3 msubff1.s . . . 4 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
4 eqid 2798 . . . 4 (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
51, 2, 3, 4msubff1 32913 . . 3 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)))
6 f1f1orn 6601 . . 3 ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)) → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)))
75, 6syl 17 . 2 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)))
81, 2, 3msubrn 32886 . . . 4 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅m 𝑉))
9 df-ima 5532 . . . 4 (𝑆 “ (𝑅m 𝑉)) = ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))
108, 9eqtri 2821 . . 3 ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))
11 f1oeq3 6581 . . 3 (ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉))))
1210, 11ax-mp 5 . 2 ((𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)))
137, 12sylibr 237 1 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅m 𝑉)):(𝑅m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389  mVRcmvar 32818  mRExcmrex 32823  mExcmex 32824  mSubstcmsub 32828  mFScmfs 32833 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-frmd 18006  df-mrex 32843  df-mex 32844  df-mrsub 32847  df-msub 32848  df-mfs 32853 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator