Theorem msubff1o 33186

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is bijective to the set of all substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubff1.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff1.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff1.s	⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msubff1o	⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Proof of Theorem msubff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msubff1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		msubff1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		msubff1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	msubff1 33185	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)))
6		f1f1orn 6650	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)) → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
8	1, 2, 3	msubrn 33158	. . . 4 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
9		df-ima 5549	. . . 4 ⊢ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)) = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))
10	8, 9	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))
11		f1oeq3 6629	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13	7, 12	sylibr 237	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ran crn 5537   ↾ cres 5538   “ cima 5539  –1-1→wf1 6355  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↑_m cmap 8486  mVRcmvar 33090  mRExcmrex 33095  mExcmex 33096  mSubstcmsub 33100  mFScmfs 33105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-frmd 18230  df-mrex 33115  df-mex 33116  df-mrsub 33119  df-msub 33120  df-mfs 33125

This theorem is referenced by: (None)