Theorem msubff1o 35562

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is bijective to the set of all substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubff1.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff1.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff1.s	⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msubff1o	⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Proof of Theorem msubff1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msubff1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		msubff1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3		msubff1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	msubff1 35561	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)))
6		f1f1orn 6859	. . 3 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑m (mEx‘𝑇)) → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
8	1, 2, 3	msubrn 35534	. . . 4 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
9		df-ima 5698	. . . 4 ⊢ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)) = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))
10	8, 9	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))
11		f1oeq3 6838	. . 3 ⊢ (ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉))))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13	7, 12	sylibr 234	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅 ↑m 𝑉)):(𝑅 ↑m 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688  –1-1→wf1 6558  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  mVRcmvar 35466  mRExcmrex 35471  mExcmex 35472  mSubstcmsub 35476  mFScmfs 35481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-frmd 18862  df-mrex 35491  df-mex 35492  df-mrsub 35495  df-msub 35496  df-mfs 35501

This theorem is referenced by: (None)