Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclspps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclspps 34873
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 34858.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclspps.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclspps.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclspps.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclspps.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
mclspps.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclspps.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclspps.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclspps.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclspps.4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
mclspps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
Assertion
Ref Expression
mclspps (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦,𝐻   𝑣,𝑉   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑀,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑣,𝑂,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝐸(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mclspps
Dummy variables π‘š π‘œ 𝑝 𝑠 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclspps.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
42, 3msubf 34821 . . . 4 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
65ffnd 6717 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn 𝐸)
7 mclspps.d . . . 4 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
8 mclspps.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
9 mclspps.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
10 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
11 mclspps.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
1210, 11mppspst 34863 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
13 mclspps.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
1412, 13sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
157, 3, 10elmpst 34825 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
1716simp1d 1140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀))
1817simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝐷)
1916simp2d 1141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin))
2019simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† 𝐸)
21 eqid 2730 . . . 4 (mAxβ€˜π‘‡) = (mAxβ€˜π‘‡)
22 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
23 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
24 mclspps.w . . . 4 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
25 mclspps.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
2625ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
275ffund 6720 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
285fdmd 6727 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐸)
2920, 28sseqtrrd 4022 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† dom 𝑆)
30 funimass5 7055 . . . . . 6 ((Fun 𝑆 ∧ 𝑂 βŠ† dom 𝑆) β†’ (𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
3127, 29, 30syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
3226, 31mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
3322, 3, 23mvhf 34847 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
349, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
3534ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸)
36 mclspps.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
37 elpreima 7058 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
386, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
3938adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
4035, 36, 39mpbir2and 709 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
4193ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ mFS)
42 mclspps.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
43423ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
44 mclspps.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
45443ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
46133ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
4713ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
48253ad2antl1 1183 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
49363ad2antl1 1183 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
50 mclspps.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
51503ad2antl1 1183 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
52 simp21 1204 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
53 simp22 1205 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
54 simp23 1206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
55 simp3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
567, 3, 8, 41, 43, 45, 11, 2, 22, 23, 24, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55mclsppslem 34872 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
577, 3, 8, 9, 18, 20, 21, 2, 22, 23, 24, 32, 40, 56mclsind 34859 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀𝐢𝑂) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5810, 11, 8elmpps 34862 . . . . 5 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽 ↔ (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ∧ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂)))
5958simprbi 495 . . . 4 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽 β†’ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂))
6013, 59syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂))
6157, 60sseldd 3982 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
62 elpreima 7058 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ (𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (𝑃 ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
6362simplbda 498 . 2 ((𝑆 Fn 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
646, 61, 63syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βŸ¨cotp 4635   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  mVRcmvar 34750  mAxcmax 34754  mExcmex 34756  mDVcmdv 34757  mVarscmvrs 34758  mSubstcmsub 34760  mVHcmvh 34761  mPreStcmpst 34762  mFScmfs 34765  mClscmcls 34766  mPPStcmpps 34767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-vrmd 18767  df-mrex 34775  df-mex 34776  df-mdv 34777  df-mvrs 34778  df-mrsub 34779  df-msub 34780  df-mvh 34781  df-mpst 34782  df-msr 34783  df-msta 34784  df-mfs 34785  df-mcls 34786  df-mpps 34787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator