Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclspps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclspps 34575
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 34560.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclspps.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclspps.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclspps.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclspps.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
mclspps.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclspps.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclspps.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclspps.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclspps.4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
mclspps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
Assertion
Ref Expression
mclspps (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦,𝐻   𝑣,𝑉   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑀,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑣,𝑂,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝐸(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑂(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mclspps
Dummy variables π‘š π‘œ 𝑝 𝑠 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclspps.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
42, 3msubf 34523 . . . 4 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
65ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn 𝐸)
7 mclspps.d . . . 4 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
8 mclspps.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
9 mclspps.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
10 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
11 mclspps.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
1210, 11mppspst 34565 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
13 mclspps.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
1412, 13sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
157, 3, 10elmpst 34527 . . . . . . 7 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
1716simp1d 1143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀))
1817simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝐷)
1916simp2d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin))
2019simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† 𝐸)
21 eqid 2733 . . . 4 (mAxβ€˜π‘‡) = (mAxβ€˜π‘‡)
22 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
23 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
24 mclspps.w . . . 4 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
25 mclspps.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
2625ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
275ffund 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
285fdmd 6729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐸)
2920, 28sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† dom 𝑆)
30 funimass5 7057 . . . . . 6 ((Fun 𝑆 ∧ 𝑂 βŠ† dom 𝑆) β†’ (𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
3127, 29, 30syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑂 (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
3226, 31mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
3322, 3, 23mvhf 34549 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
349, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
3534ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸)
36 mclspps.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
37 elpreima 7060 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
386, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
3938adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
4035, 36, 39mpbir2and 712 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
4193ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ mFS)
42 mclspps.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
43423ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
44 mclspps.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
45443ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
46133ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
4713ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
48253ad2antl1 1186 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
49363ad2antl1 1186 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
50 mclspps.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
51503ad2antl1 1186 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
52 simp21 1207 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
53 simp22 1208 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
54 simp23 1209 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
55 simp3 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
567, 3, 8, 41, 43, 45, 11, 2, 22, 23, 24, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55mclsppslem 34574 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) ∧ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
577, 3, 8, 9, 18, 20, 21, 2, 22, 23, 24, 32, 40, 56mclsind 34561 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀𝐢𝑂) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5810, 11, 8elmpps 34564 . . . . 5 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽 ↔ (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ∧ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂)))
5958simprbi 498 . . . 4 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽 β†’ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂))
6013, 59syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝑀𝐢𝑂))
6157, 60sseldd 3984 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
62 elpreima 7060 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ (𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (𝑃 ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
6362simplbda 501 . 2 ((𝑆 Fn 𝐸 ∧ 𝑃 ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
646, 61, 63syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βŸ¨cotp 4637   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  mVRcmvar 34452  mAxcmax 34456  mExcmex 34458  mDVcmdv 34459  mVarscmvrs 34460  mSubstcmsub 34462  mVHcmvh 34463  mPreStcmpst 34464  mFScmfs 34467  mClscmcls 34468  mPPStcmpps 34469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-vrmd 18731  df-mrex 34477  df-mex 34478  df-mdv 34479  df-mvrs 34480  df-mrsub 34481  df-msub 34482  df-mvh 34483  df-mpst 34484  df-msr 34485  df-msta 34486  df-mfs 34487  df-mcls 34488  df-mpps 34489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator