Theorem nnoddn2prmb 17023

Description: A number is a prime number not equal to 2 iff it is an odd prime number. Conversion theorem for two representations of odd primes. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddn2prmb	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem nnoddn2prmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4070	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		oddn2prm 17022	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℙ)
5		z2even 16572	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
6		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 2))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁))
9	8	con3dimp 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 = 2)
10	9	neqned 2966	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ≠ 2)
11		nelsn 4627	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 𝑁 ∈ {2})
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ {2})
13	4, 12	eldifd 4053	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}))
14	3, 13	impbii 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  2c2 12427   ∥ cdvds 16454  ℙcprime 16878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-prm 16879

This theorem is used by:  2lgs  27767  oddprm2  35367