Theorem nnoddn2prmb 16767

Description: A number is a prime number not equal to 2 iff it is an odd prime number. Conversion theorem for two representations of odd primes. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddn2prmb	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem nnoddn2prmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		oddn2prm 16766	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℙ)
5		z2even 16332	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
6		breq2 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 2))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁))
9	8	con3dimp 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 = 2)
10	9	neqned 2942	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ≠ 2)
11		nelsn 4664	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 𝑁 ∈ {2})
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ {2})
13	4, 12	eldifd 3955	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}))
14	3, 13	impbii 208	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  2c2 12283   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-prm 16628

This theorem is referenced by:  2lgs  27314  oddprm2  34210