Theorem nnoddn2prmb 16004

Description: A number is a prime number not equal to 2 iff it is an odd prime number. Conversion theorem for two representations of odd primes. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddn2prmb	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem nnoddn2prmb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3986	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		oddn2prm 16003	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
3	1, 2	jca 504	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
4		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℙ)
5		z2even 15578	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
6		breq2 4929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 2 → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 2))
7	5, 6	mpbiri 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (𝑁 = 2 → 2 ∥ 𝑁))
9	8	con3dimp 400	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 = 2)
10	9	neqned 2967	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ≠ 2)
11		nelsn 4473	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ 2 → ¬ 𝑁 ∈ {2})
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ {2})
13	4, 12	eldifd 3833	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}))
14	3, 13	impbii 201	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑁 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3819  {csn 4435   class class class wbr 4925  2c2 11493   ∥ cdvds 15465  ℙcprime 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-prm 15870

This theorem is referenced by:  2lgs  25700  oddprm2  31606