Theorem prm23lt5 16841

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16699	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12536	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn0 12494	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6		df-5 12277	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
7	6	breq2i 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8		prmz 16700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9		4z 12599	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
10		zleltp1 12616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
11	8, 9, 10	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
12	11	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
13	7, 12	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
14	13	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15		elfz2nn0 13617	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 4))
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1356	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17		fz0to4untppr 13629	. . . 4 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
18	17	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19		elun 4104	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20		eltpi 4644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21		nnne0 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22		eqneqall 2967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
25	24	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27		1nprm 16704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
28	27	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
29	26, 28	biimtrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30		orc 878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
31	30	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
32	25, 29, 31	3jaoi 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
33	20, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34		elpri 4603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35		olc 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38		4nprm 16720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
39	38	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
40	37, 39	biimtrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
41	36, 40	jaoi 868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
42	34, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
43	33, 42	jaoi 868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
44	19, 43	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
45	44	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
46	45	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
47	18, 46	biimtrid 244	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
48	16, 47	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∪ cun 3900  {cpr 4581  {ctp 4583   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ...cfz 13506  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697

This theorem is referenced by:  prm23ge5  16842