MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prm23lt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prm23lt5 16693
Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm23lt5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5
StepHypRef Expression
1 prmnn 16557 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12480 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32adantr 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6 df-5 12226 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
76breq2i 5118 . . . . 5 (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8 prmz 16558 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9 4z 12544 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
10 zleltp1 12561 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
1211biimprd 248 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
137, 12biimtrid 241 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
1413imp 408 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15 elfz2nn0 13539 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0𝑃 ≤ 4))
163, 5, 14, 15syl3anbrc 1344 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17 fz0to4untppr 13551 . . . 4 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
1817eleq2i 2830 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19 elun 4113 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20 eltpi 4653 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21 nnne0 12194 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22 eqneqall 2955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2322com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
241, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27 1nprm 16562 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
2827pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
2926, 28syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30 orc 866 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3130a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3225, 29, 313jaoi 1428 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34 elpri 4613 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35 olc 867 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3635a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38 4nprm 16578 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ∈ ℙ
3938pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
4037, 39syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4136, 40jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4234, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4333, 42jaoi 856 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4419, 43sylbi 216 . . . . 5 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4544com12 32 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4645adantr 482 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4718, 46biimtrid 241 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4816, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cun 3913  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  0cn0 12420  cz 12506  ...cfz 13431  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prm23ge5  16694
  Copyright terms: Public domain W3C validator