MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prm23lt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prm23lt5 16138
Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm23lt5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5
StepHypRef Expression
1 prmnn 16005 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11941 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32adantr 484 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 4nn0 11902 . . . 4 4 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6 df-5 11689 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
76breq2i 5055 . . . . 5 (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8 prmz 16006 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9 4z 12002 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
10 zleltp1 12019 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
118, 9, 10sylancl 589 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
1211biimprd 251 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
137, 12syl5bi 245 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
1413imp 410 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15 elfz2nn0 12991 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0𝑃 ≤ 4))
163, 5, 14, 15syl3anbrc 1340 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17 fz0to4untppr 13003 . . . 4 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
1817eleq2i 2907 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19 elun 4109 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20 eltpi 4606 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21 nnne0 11657 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2322com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
241, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26 eleq1 2903 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27 1nprm 16010 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
2827pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
2926, 28syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30 orc 864 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3130a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3225, 29, 313jaoi 1424 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34 elpri 4570 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35 olc 865 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3635a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37 eleq1 2903 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38 4nprm 16026 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ∈ ℙ
3938pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
4037, 39syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4136, 40jaoi 854 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4234, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4333, 42jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4419, 43sylbi 220 . . . . 5 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4544com12 32 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4645adantr 484 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4718, 46syl5bi 245 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4816, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cun 3916  {cpr 4550  {ctp 4552   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   < clt 10660  cle 10661  cn 11623  2c2 11678  3c3 11679  4c4 11680  5c5 11681  0cn0 11883  cz 11967  ...cfz 12883  cprime 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-dvds 15597  df-prm 16003
This theorem is referenced by:  prm23ge5  16139
  Copyright terms: Public domain W3C validator