Theorem prm23lt5 16785

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16643	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12498	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6		df-5 12247	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
7	6	breq2i 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8		prmz 16644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9		4z 12561	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
10		zleltp1 12578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
11	8, 9, 10	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
12	11	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
13	7, 12	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
14	13	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15		elfz2nn0 13572	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 4))
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17		fz0to4untppr 13584	. . . 4 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
18	17	eleq2i 2828	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19		elun 4093	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20		eltpi 4632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21		nnne0 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22		eqneqall 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
25	24	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27		1nprm 16648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
28	27	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
29	26, 28	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30		orc 868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
31	30	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
32	25, 29, 31	3jaoi 1431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
33	20, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34		elpri 4591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35		olc 869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38		4nprm 16664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
39	38	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
40	37, 39	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
41	36, 40	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
42	34, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
43	33, 42	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
44	19, 43	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
45	44	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
46	45	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
47	18, 46	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
48	16, 47	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∪ cun 3887  {cpr 4569  {ctp 4571   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  prm23ge5  16786