Theorem prm23lt5 16756

Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23lt5	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16618	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12536	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn0 12495	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6		df-5 12282	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
7	6	breq2i 5149	. . . . 5 ⊢ (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8		prmz 16619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9		4z 12600	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℤ
10		zleltp1 12617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
11	8, 9, 10	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
12	11	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
13	7, 12	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
14	13	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15		elfz2nn0 13598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ≤ 4))
16	3, 5, 14, 15	syl3anbrc 1340	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17		fz0to4untppr 13610	. . . 4 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
18	17	eleq2i 2819	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19		elun 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20		eltpi 4686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21		nnne0 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22		eqneqall 2945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
24	1, 21, 23	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
25	24	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26		eleq1 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27		1nprm 16623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
28	27	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
29	26, 28	biimtrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30		orc 864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
31	30	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
32	25, 29, 31	3jaoi 1424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
33	20, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34		elpri 4645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35		olc 865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
36	35	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37		eleq1 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38		4nprm 16639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 4 ∈ ℙ
39	38	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
40	37, 39	biimtrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
41	36, 40	jaoi 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
42	34, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
43	33, 42	jaoi 854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
44	19, 43	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
45	44	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
46	45	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
47	18, 46	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
48	16, 47	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∪ cun 3941  {cpr 4625  {ctp 4627   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ...cfz 13490  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616

This theorem is referenced by:  prm23ge5  16757