MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prm23lt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prm23lt5 16848
Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm23lt5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5
StepHypRef Expression
1 prmnn 16708 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 12585 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32adantr 480 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 4nn0 12543 . . . 4 4 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6 df-5 12330 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
76breq2i 5156 . . . . 5 (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8 prmz 16709 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9 4z 12649 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
10 zleltp1 12666 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
1211biimprd 248 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
137, 12biimtrid 242 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
1413imp 406 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15 elfz2nn0 13655 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0𝑃 ≤ 4))
163, 5, 14, 15syl3anbrc 1342 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17 fz0to4untppr 13667 . . . 4 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
1817eleq2i 2831 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19 elun 4163 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20 eltpi 4693 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21 nnne0 12298 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2322com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
241, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27 1nprm 16713 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
2827pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
2926, 28biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30 orc 867 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3130a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3225, 29, 313jaoi 1427 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34 elpri 4654 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35 olc 868 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3635a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38 4nprm 16729 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ∈ ℙ
3938pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
4037, 39biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4136, 40jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4234, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4333, 42jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4419, 43sylbi 217 . . . . 5 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4544com12 32 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4645adantr 480 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4718, 46biimtrid 242 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4816, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cun 3961  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  prm23ge5  16849
  Copyright terms: Public domain W3C validator