Theorem aks4d1p8d1 41466

Description: If a prime divides one number 𝑀, but not another number 𝑁, then it divides the quotient of 𝑀 and the gcd of 𝑀 and 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
aks4d1p8d1.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16618	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		aks4d1p8d1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		aks4d1p8d1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gcdnncl 16455	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10	5	nnzd 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		aks4d1p8d1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	intnand 488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
13	6	nnzd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsgcdb 16494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
16	12, 15	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
17		coprm 16655	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1))
18	17	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
19	1, 9, 16, 18	syl21anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
20		aks4d1p8d1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
21		gcddvds 16451	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
22	10, 13, 21	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
23	22	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
24	4, 9, 10, 19, 20, 23	coprmdvds2d 41383	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
25	3, 8, 5	nnproddivdvdsd 41382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
26	24, 25	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℤcz 12562   ∥ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616

This theorem is referenced by: (None)