![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > aks4d1p8d1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a prime divides one number ๐, but not another number ๐, then it divides the quotient of ๐ and the gcd of ๐ and ๐. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p8d1.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
aks4d1p8d1.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
aks4d1p8d1.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
aks4d1p8d1.4 | โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) |
aks4d1p8d1.5 | โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p8d1 | โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ / (๐ gcd ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | aks4d1p8d1.1 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | prmnn 16555 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
4 | 3 | nnzd 12531 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
5 | aks4d1p8d1.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | aks4d1p8d1.3 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
7 | gcdnncl 16392 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ gcd ๐) โ โ) | |
8 | 5, 6, 7 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ gcd ๐) โ โ) |
9 | 8 | nnzd 12531 | . . 3 โข (๐ โ (๐ gcd ๐) โ โค) |
10 | 5 | nnzd 12531 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
11 | aks4d1p8d1.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐) | |
12 | 11 | intnand 490 | . . . . 5 โข (๐ โ ยฌ (๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐)) |
13 | 6 | nnzd 12531 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
14 | dvdsgcdb 16431 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ (๐ gcd ๐))) | |
15 | 4, 10, 13, 14 | syl3anc 1372 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ โฅ ๐ โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ (๐ gcd ๐))) |
16 | 12, 15 | mtbid 324 | . . . 4 โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ (๐ gcd ๐)) |
17 | coprm 16592 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง (๐ gcd ๐) โ โค) โ (ยฌ ๐ โฅ (๐ gcd ๐) โ (๐ gcd (๐ gcd ๐)) = 1)) | |
18 | 17 | biimpa 478 | . . . 4 โข (((๐ โ โ โง (๐ gcd ๐) โ โค) โง ยฌ ๐ โฅ (๐ gcd ๐)) โ (๐ gcd (๐ gcd ๐)) = 1) |
19 | 1, 9, 16, 18 | syl21anc 837 | . . 3 โข (๐ โ (๐ gcd (๐ gcd ๐)) = 1) |
20 | aks4d1p8d1.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) | |
21 | gcddvds 16388 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ gcd ๐) โฅ ๐ โง (๐ gcd ๐) โฅ ๐)) | |
22 | 10, 13, 21 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ gcd ๐) โฅ ๐ โง (๐ gcd ๐) โฅ ๐)) |
23 | 22 | simpld 496 | . . 3 โข (๐ โ (๐ gcd ๐) โฅ ๐) |
24 | 4, 9, 10, 19, 20, 23 | coprmdvds2d 40505 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (๐ gcd ๐)) โฅ ๐) |
25 | 3, 8, 5 | nnproddivdvdsd 40504 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท (๐ gcd ๐)) โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐ / (๐ gcd ๐)))) |
26 | 24, 25 | mpbid 231 | 1 โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ / (๐ gcd ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 1c1 11057 ยท cmul 11061 / cdiv 11817 โcn 12158 โคcz 12504 โฅ cdvds 16141 gcd cgcd 16379 โcprime 16552 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-2o 8414 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-sup 9383 df-inf 9384 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fl 13703 df-mod 13781 df-seq 13913 df-exp 13974 df-cj 14990 df-re 14991 df-im 14992 df-sqrt 15126 df-abs 15127 df-dvds 16142 df-gcd 16380 df-prm 16553 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |