Theorem aks4d1p8d1 41610

Description: If a prime divides one number 𝑀, but not another number 𝑁, then it divides the quotient of 𝑀 and the gcd of 𝑀 and 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
aks4d1p8d1.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16642	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		aks4d1p8d1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		aks4d1p8d1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gcdnncl 16479	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12613	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10	5	nnzd 12613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		aks4d1p8d1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	intnand 487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
13	6	nnzd 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsgcdb 16518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
16	12, 15	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
17		coprm 16679	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1))
18	17	biimpa 475	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
19	1, 9, 16, 18	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
20		aks4d1p8d1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
21		gcddvds 16475	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
22	10, 13, 21	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
23	22	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
24	4, 9, 10, 19, 20, 23	coprmdvds2d 41527	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
25	3, 8, 5	nnproddivdvdsd 41526	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
26	24, 25	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  1c1 11137   · cmul 11141   / cdiv 11899  ℕcn 12240  ℤcz 12586   ∥ cdvds 16228   gcd cgcd 16466  ℙcprime 16639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640

This theorem is referenced by: (None)