Theorem aks4d1p8d1 40937

Description: If a prime divides one number 𝑀, but not another number 𝑁, then it divides the quotient of 𝑀 and the gcd of 𝑀 and 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
aks4d1p8d1.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16607	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		aks4d1p8d1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		aks4d1p8d1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gcdnncl 16444	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10	5	nnzd 12581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		aks4d1p8d1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	intnand 489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
13	6	nnzd 12581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsgcdb 16483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
16	12, 15	mtbid 323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
17		coprm 16644	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1))
18	17	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
19	1, 9, 16, 18	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
20		aks4d1p8d1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
21		gcddvds 16440	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
22	10, 13, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
23	22	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
24	4, 9, 10, 19, 20, 23	coprmdvds2d 40855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
25	3, 8, 5	nnproddivdvdsd 40854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
26	24, 25	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605

This theorem is referenced by: (None)