Theorem aks4d1p8d1 42072

Description: If a prime divides one number 𝑀, but not another number 𝑁, then it divides the quotient of 𝑀 and the gcd of 𝑀 and 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
aks4d1p8d1.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16644	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		aks4d1p8d1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		aks4d1p8d1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gcdnncl 16477	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10	5	nnzd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		aks4d1p8d1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	intnand 488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
13	6	nnzd 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsgcdb 16515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
16	12, 15	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
17		coprm 16681	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1))
18	17	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
19	1, 9, 16, 18	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
20		aks4d1p8d1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
21		gcddvds 16473	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
22	10, 13, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
23	22	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
24	4, 9, 10, 19, 20, 23	coprmdvds2d 41989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
25	3, 8, 5	nnproddivdvdsd 41988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
26	24, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  1c1 11069   · cmul 11073   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℤcz 12529   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642

This theorem is referenced by: (None)