Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p8d1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p8d1 40587
Description: If a prime divides one number ๐‘€, but not another number ๐‘, then it divides the quotient of ๐‘€ and the gcd of ๐‘€ and ๐‘. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p8d1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
aks4d1p8d1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
aks4d1p8d1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
aks4d1p8d1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€)
aks4d1p8d1.5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p8d1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1
StepHypRef Expression
1 aks4d1p8d1.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmnn 16555 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12531 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5 aks4d1p8d1.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
6 aks4d1p8d1.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7 gcdnncl 16392 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„•)
98nnzd 12531 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค)
105nnzd 12531 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 aks4d1p8d1.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
1211intnand 490 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
136nnzd 12531 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 dvdsgcdb 16431 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
154, 10, 13, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
1612, 15mtbid 324 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
17 coprm 16592 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” (๐‘ƒ gcd (๐‘€ gcd ๐‘)) = 1))
1817biimpa 478 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ gcd (๐‘€ gcd ๐‘)) = 1)
191, 9, 16, 18syl21anc 837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ gcd (๐‘€ gcd ๐‘)) = 1)
20 aks4d1p8d1.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘€)
21 gcddvds 16388 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
2210, 13, 21syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘))
2322simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ ๐‘€)
244, 9, 10, 19, 20, 23coprmdvds2d 40505 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€)
253, 8, 5nnproddivdvdsd 40504 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) โˆฅ ๐‘€ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘))))
2624, 25mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘€ / (๐‘€ gcd ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  1c1 11057   ยท cmul 11061   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379  โ„™cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator