Theorem aks4d1p8d1 42176

Description: If a prime divides one number 𝑀, but not another number 𝑁, then it divides the quotient of 𝑀 and the gcd of 𝑀 and 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p8d1.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p8d1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p8d1.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
aks4d1p8d1.5	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p8d1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem aks4d1p8d1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p8d1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16585	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
5		aks4d1p8d1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6		aks4d1p8d1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gcdnncl 16418	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
10	5	nnzd 12495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		aks4d1p8d1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	intnand 488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁))
13	6	nnzd 12495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsgcdb 16456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
15	4, 10, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ 𝑀 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
16	12, 15	mtbid 324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
17		coprm 16622	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1))
18	17	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
19	1, 9, 16, 18	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 gcd (𝑀 gcd 𝑁)) = 1)
20		aks4d1p8d1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
21		gcddvds 16414	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
22	10, 13, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
23	22	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
24	4, 9, 10, 19, 20, 23	coprmdvds2d 42093	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
25	3, 8, 5	nnproddivdvdsd 42092	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
26	24, 25	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  1c1 11007   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℤcz 12468   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583

This theorem is referenced by: (None)