Theorem prmlem0 17153

Description: Lemma for prmlem1 17155 and prmlem2 17167. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem0.1	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
prmlem0.2	⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
prmlem0.3	⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
prmlem0	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2		prmlem0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
3		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
5	4	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)))
7	2, 6	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
8	1, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
9	8	adantrd 491	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		uzp1 12944	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))))
12		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14		eldifsn 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15		eluzel2 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18		1z 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		n2dvds1 16416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
20		opoe 16411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
21	18, 19, 20	mpanr12 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
22	16, 17, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsprm 16750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
28	26, 27	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
30	29	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
32	31	necon3ad 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
33	32	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
34	14, 33	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
36	13, 35	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37	36	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
39	16	zcnd 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addass 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
42	40, 40, 41	mp3an23 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44		1p1e2 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
45	44	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46		prmlem0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀
47	45, 46	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
48	43, 47	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
49	48	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
50	49	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		dvdsaddr 16351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
52	24, 16, 51	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
53	46	breq2i 5174	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
54	52, 53	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
55	17, 54	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56		prmlem0.1	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
57	56	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
58	55, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
59	50, 58	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
60	38, 59	jaod 858	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
61	11, 60	syl5 34	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
62		uzp1 12944	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
63	62	adantl 481	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
64	10, 61, 63	mpjaod 859	1 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  prmlem1a  17154  prmlem2  17167