MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem0 16985
Description: Lemma for prmlem1 16987 and prmlem2 16999. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem0.1 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
prmlem0.2 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
prmlem0.3 (𝐾 + 2) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
prmlem0 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0
StepHypRef Expression
1 eldifi 4091 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2 prmlem0.2 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
3 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4 breq1 5113 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
54notbid 318 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 𝐾𝑁))
63, 5imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)))
72, 6mpbiri 258 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁))
81, 7syl5 34 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
98adantrd 493 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109a1i 11 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
11 uzp1 12811 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))))
12 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
1312adantl 483 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14 eldifsn 4752 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15 eluzel2 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18 1z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
19 n2dvds1 16257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 2 ∥ 1
20 opoe 16252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2118, 19, 20mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2216, 17, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
25 uzid 12785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 dvdsprm 16586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2826, 27sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
3029eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
3231necon3ad 2957 . . . . . . . . . 10 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥𝑁))
3332expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥𝑁))
3414, 33biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3534adantr 482 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3613, 35sylbid 239 . . . . . 6 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3736adantrd 493 . . . . 5 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3837ex 414 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
3916zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
41 addass 11145 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4240, 40, 41mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44 1p1e2 12285 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
4544oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46 prmlem0.3 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 2) = 𝑀
4745, 46eqtri 2765 . . . . . . . 8 (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
4843, 47eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
4948fveq2d 6851 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
5049eleq2d 2824 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
51 dvdsaddr 16192 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5224, 16, 51sylancr 588 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5346breq2i 5118 . . . . . . . 8 (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
5452, 53bitrdi 287 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
5517, 54mtbid 324 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56 prmlem0.1 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
5756ex 414 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5855, 57syl 17 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5950, 58sylbid 239 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6038, 59jaod 858 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6111, 60syl5 34 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
62 uzp1 12811 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6362adantl 483 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6410, 61, 63mpjaod 859 1 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cle 11197  2c2 12215  cz 12506  cuz 12770  cexp 13974  cdvds 16143  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmlem1a  16986  prmlem2  16999
  Copyright terms: Public domain W3C validator