Theorem prmlem0 17125

Description: Lemma for prmlem1 17127 and prmlem2 17139. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem0.1	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
prmlem0.2	⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
prmlem0.3	⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
prmlem0	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2		prmlem0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
3		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
5	4	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)))
7	2, 6	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
8	1, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
9	8	adantrd 491	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		uzp1 12893	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))))
12		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14		eldifsn 4762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15		eluzel2 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18		1z 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		n2dvds1 16387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
20		opoe 16382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
21	18, 19, 20	mpanr12 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
22	16, 17, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24		2z 12624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsprm 16722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
30	29	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
32	31	necon3ad 2945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
33	32	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
34	14, 33	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
36	13, 35	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37	36	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	ex 412	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
39	16	zcnd 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addass 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
42	40, 40, 41	mp3an23 1455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44		1p1e2 12365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
45	44	oveq2i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46		prmlem0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀
47	45, 46	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
48	43, 47	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
49	48	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
50	49	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		dvdsaddr 16322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
52	24, 16, 51	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
53	46	breq2i 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
54	52, 53	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
55	17, 54	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56		prmlem0.1	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
57	56	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
58	55, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
59	50, 58	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
60	38, 59	jaod 859	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
61	11, 60	syl5 34	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
62		uzp1 12893	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
63	62	adantl 481	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
64	10, 61, 63	mpjaod 860	1 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270  2c2 12295  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ↑cexp 14079   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  prmlem1a  17126  prmlem2  17139