Theorem prmlem0 16807

Description: Lemma for prmlem1 16809 and prmlem2 16821. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem0.1	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
prmlem0.2	⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
prmlem0.3	⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
prmlem0	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2		prmlem0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
3		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
5	4	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
6	3, 5	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)))
7	2, 6	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
8	1, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
9	8	adantrd 492	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		uzp1 12619	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))))
12		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14		eldifsn 4720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15		eluzel2 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18		1z 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		n2dvds1 16077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
20		opoe 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
21	18, 19, 20	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
22	16, 17, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsprm 16408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
29	23, 28	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
30	29	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
32	31	necon3ad 2956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
33	32	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
34	14, 33	syl5bi 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
36	13, 35	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37	36	adantrd 492	. . . . 5 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	ex 413	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
39	16	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addass 10958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
42	40, 40, 41	mp3an23 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44		1p1e2 12098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
45	44	oveq2i 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46		prmlem0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀
47	45, 46	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
48	43, 47	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
49	48	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
50	49	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		dvdsaddr 16012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
52	24, 16, 51	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
53	46	breq2i 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
54	52, 53	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
55	17, 54	mtbid 324	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56		prmlem0.1	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
57	56	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
58	55, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
59	50, 58	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
60	38, 59	jaod 856	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
61	11, 60	syl5 34	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
62		uzp1 12619	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
63	62	adantl 482	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
64	10, 61, 63	mpjaod 857	1 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  prmlem1a  16808  prmlem2  16821