MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem0 16430
Description: Lemma for prmlem1 16432 and prmlem2 16444. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem0.1 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
prmlem0.2 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
prmlem0.3 (𝐾 + 2) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
prmlem0 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0
StepHypRef Expression
1 eldifi 4078 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2 prmlem0.2 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
3 eleq1 2901 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4 breq1 5045 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
54notbid 321 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 𝐾𝑁))
63, 5imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)))
72, 6mpbiri 261 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁))
81, 7syl5 34 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
98adantrd 495 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109a1i 11 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
11 uzp1 12267 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))))
12 eleq1 2901 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
1312adantl 485 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14 eldifsn 4693 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15 eluzel2 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18 1z 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
19 n2dvds1 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 2 ∥ 1
20 opoe 15703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2118, 19, 20mpanr12 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2216, 17, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
25 uzid 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 dvdsprm 16036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2826, 27sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2923, 28mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
3029eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
3231necon3ad 3024 . . . . . . . . . 10 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥𝑁))
3332expimpd 457 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥𝑁))
3414, 33syl5bi 245 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3534adantr 484 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3613, 35sylbid 243 . . . . . 6 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3736adantrd 495 . . . . 5 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3837ex 416 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
3916zcnd 12076 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
41 addass 10613 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4240, 40, 41mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44 1p1e2 11750 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
4544oveq2i 7151 . . . . . . . . 9 (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46 prmlem0.3 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 2) = 𝑀
4745, 46eqtri 2845 . . . . . . . 8 (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
4843, 47syl6eq 2873 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
4948fveq2d 6656 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
5049eleq2d 2899 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
51 dvdsaddr 15644 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5224, 16, 51sylancr 590 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5346breq2i 5050 . . . . . . . 8 (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
5452, 53syl6bb 290 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
5517, 54mtbid 327 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56 prmlem0.1 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
5756ex 416 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5855, 57syl 17 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5950, 58sylbid 243 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6038, 59jaod 856 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6111, 60syl5 34 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
62 uzp1 12267 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6362adantl 485 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6410, 61, 63mpjaod 857 1 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cdif 3905  {csn 4539   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  1c1 10527   + caddc 10529  cle 10665  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  cexp 13425  cdvds 15598  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-prm 16005
This theorem is referenced by:  prmlem1a  16431  prmlem2  16444
  Copyright terms: Public domain W3C validator