MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem0 17080
Description: Lemma for prmlem1 17082 and prmlem2 17094. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem0.1 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
prmlem0.2 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
prmlem0.3 (𝐾 + 2) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
prmlem0 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0
StepHypRef Expression
1 eldifi 4125 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2 prmlem0.2 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
3 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4 breq1 5153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
54notbid 317 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 𝐾𝑁))
63, 5imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)))
72, 6mpbiri 257 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁))
81, 7syl5 34 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
98adantrd 490 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109a1i 11 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
11 uzp1 12899 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))))
12 eleq1 2816 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
1312adantl 480 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14 eldifsn 4793 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15 eluzel2 12863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18 1z 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
19 n2dvds1 16350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 2 ∥ 1
20 opoe 16345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2118, 19, 20mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2216, 17, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24 2z 12630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
25 uzid 12873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 dvdsprm 16679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2826, 27sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2923, 28mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
3029eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
3231necon3ad 2949 . . . . . . . . . 10 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥𝑁))
3332expimpd 452 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥𝑁))
3414, 33biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3534adantr 479 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3613, 35sylbid 239 . . . . . 6 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3736adantrd 490 . . . . 5 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3837ex 411 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
3916zcnd 12703 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 11202 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
41 addass 11231 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4240, 40, 41mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44 1p1e2 12373 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
4544oveq2i 7435 . . . . . . . . 9 (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46 prmlem0.3 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 2) = 𝑀
4745, 46eqtri 2755 . . . . . . . 8 (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
4843, 47eqtrdi 2783 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
4948fveq2d 6904 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
5049eleq2d 2814 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
51 dvdsaddr 16285 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5224, 16, 51sylancr 585 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5346breq2i 5158 . . . . . . . 8 (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
5452, 53bitrdi 286 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
5517, 54mtbid 323 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56 prmlem0.1 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
5756ex 411 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5855, 57syl 17 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5950, 58sylbid 239 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6038, 59jaod 857 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6111, 60syl5 34 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
62 uzp1 12899 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6362adantl 480 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6410, 61, 63mpjaod 858 1 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  cdif 3944  {csn 4630   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  cc 11142  1c1 11145   + caddc 11147  cle 11285  2c2 12303  cz 12594  cuz 12858  cexp 14064  cdvds 16236  cprime 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-prm 16648
This theorem is referenced by:  prmlem1a  17081  prmlem2  17094
  Copyright terms: Public domain W3C validator