Theorem prmlem0 17124

Description: Lemma for prmlem1 17126 and prmlem2 17139. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem0.1	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
prmlem0.2	⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
prmlem0.3	⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
prmlem0	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2		prmlem0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
3		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4		breq1 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
5	4	notbid 320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
6	3, 5	imbi12d 346	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)))
7	2, 6	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
8	1, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
9	8	adantrd 495	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		uzp1 12873	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))))
12		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13	12	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14		eldifsn 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15		eluzel2 12841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18		1z 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		n2dvds1 16385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
20		opoe 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
21	18, 19, 20	mpanr12 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
22	16, 17, 21	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24		2z 12600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 12851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsprm 16721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
28	26, 27	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
29	23, 28	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
30	29	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
32	31	necon3ad 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
33	32	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
34	14, 33	biimtrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
36	13, 35	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37	36	adantrd 495	. . . . 5 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	ex 416	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
39	16	zcnd 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addass 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
42	40, 40, 41	mp3an23 1473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44		1p1e2 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
45	44	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46		prmlem0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀
47	45, 46	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
48	43, 47	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
49	48	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
50	49	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		dvdsaddr 16320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
52	24, 16, 51	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
53	46	breq2i 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
54	52, 53	bitrdi 289	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
55	17, 54	mtbid 326	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56		prmlem0.1	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
57	56	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
58	55, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
59	50, 58	sylbid 242	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
60	38, 59	jaod 870	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
61	11, 60	syl5 34	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
62		uzp1 12873	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
63	62	adantl 485	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
64	10, 61, 63	mpjaod 871	1 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  1c1 11071   + caddc 11073   ≤ cle 11214  2c2 12269  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  prmlem1a  17125  prmlem2  17139