Theorem oppciso 17743

Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppciso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppciso	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcsect.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3		oppcsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 17742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
9	8	dmeqd 5869	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
10	2, 1	oppcbas 17679	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11	2	oppccat 17683	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
13		oppciso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)
14	10, 7, 12, 4, 5, 13	isoval 17727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15		oppciso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
16	1, 6, 3, 5, 4, 15	isoval 17727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
17	9, 14, 16	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Catccat 17625  oppCatcoppc 17672  Invcinv 17707  Isociso 17708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17629  df-cid 17630  df-oppc 17673  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711

This theorem is referenced by:  oppccic  49030