Theorem oppciso 17053

Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppciso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppciso	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcsect.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3		oppcsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 17052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
9	8	dmeqd 5776	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
10	2, 1	oppcbas 16990	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11	2	oppccat 16994	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
13		oppciso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)
14	10, 7, 12, 4, 5, 13	isoval 17037	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15		oppciso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
16	1, 6, 3, 5, 4, 15	isoval 17037	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
17	9, 14, 16	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  Catccat 16937  oppCatcoppc 16983  Invcinv 17017  Isociso 17018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-hom 16591  df-cco 16592  df-cat 16941  df-cid 16942  df-oppc 16984  df-sect 17019  df-inv 17020  df-iso 17021

This theorem is referenced by: (None)