Theorem oppciso 17680

Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppciso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppciso	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcsect.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3		oppcsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 17679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
9	8	dmeqd 5843	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
10	2, 1	oppcbas 17616	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11	2	oppccat 17620	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
13		oppciso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)
14	10, 7, 12, 4, 5, 13	isoval 17664	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15		oppciso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
16	1, 6, 3, 5, 4, 15	isoval 17664	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
17	9, 14, 16	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  dom cdm 5614  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  Catccat 17562  oppCatcoppc 17609  Invcinv 17644  Isociso 17645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-hom 17177  df-cco 17178  df-cat 17566  df-cid 17567  df-oppc 17610  df-sect 17646  df-inv 17647  df-iso 17648

This theorem is referenced by:  oppccic  49055