MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppciso 17767
Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
oppciso.s 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t 𝐽 = (Iso‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppciso (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 oppcsect.o . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3 oppcsect.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 oppcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 oppcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 eqid 2725 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7 eqid 2725 . . . 4 (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 17766 . . 3 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
98dmeqd 5908 . 2 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
102, 1oppcbas 17702 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑂)
112oppccat 17707 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
13 oppciso.t . . 3 𝐽 = (Iso‘𝑂)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 17751 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15 oppciso.s . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 17751 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
179, 14, 163eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  dom cdm 5678  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  Catccat 17647  oppCatcoppc 17694  Invcinv 17731  Isociso 17732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-cat 17651  df-cid 17652  df-oppc 17695  df-sect 17733  df-inv 17734  df-iso 17735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator