Theorem oppciso 17043

Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppciso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppciso	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcsect.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		oppcsect.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3		oppcsect.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		oppcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		oppcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	oppcinv 17042	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
9	8	dmeqd 5738	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
10	2, 1	oppcbas 16980	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
11	2	oppccat 16984	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
12	3, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
13		oppciso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝑂)
14	10, 7, 12, 4, 5, 13	isoval 17027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15		oppciso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
16	1, 6, 3, 5, 4, 15	isoval 17027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
17	9, 14, 16	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  Catccat 16927  oppCatcoppc 16973  Invcinv 17007  Isociso 17008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-hom 16581  df-cco 16582  df-cat 16931  df-cid 16932  df-oppc 16974  df-sect 17009  df-inv 17010  df-iso 17011

This theorem is referenced by: (None)