MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppciso 17829
Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
oppciso.s 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t 𝐽 = (Iso‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppciso (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 oppcsect.o . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3 oppcsect.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 oppcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 oppcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 eqid 2735 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7 eqid 2735 . . . 4 (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 17828 . . 3 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
98dmeqd 5919 . 2 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
102, 1oppcbas 17764 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑂)
112oppccat 17769 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
13 oppciso.t . . 3 𝐽 = (Iso‘𝑂)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 17813 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15 oppciso.s . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 17813 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
179, 14, 163eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Catccat 17709  oppCatcoppc 17756  Invcinv 17793  Isociso 17794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17713  df-cid 17714  df-oppc 17757  df-sect 17795  df-inv 17796  df-iso 17797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator