MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppciso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppciso 16794
Description: An isomorphism in the opposite category. See also remark 3.9 in [Adamek] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcsect.y (𝜑𝑌𝐵)
oppciso.s 𝐼 = (Iso‘𝐶)
oppciso.t 𝐽 = (Iso‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppciso (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))

Proof of Theorem oppciso
StepHypRef Expression
1 oppcsect.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 oppcsect.o . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
3 oppcsect.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 oppcsect.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 oppcsect.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 eqid 2826 . . . 4 (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
7 eqid 2826 . . . 4 (Inv‘𝑂) = (Inv‘𝑂)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oppcinv 16793 . . 3 (𝜑 → (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
98dmeqd 5559 . 2 (𝜑 → dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
102, 1oppcbas 16731 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑂)
112oppccat 16735 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
123, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ Cat)
13 oppciso.t . . 3 𝐽 = (Iso‘𝑂)
1410, 7, 12, 4, 5, 13isoval 16778 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = dom (𝑋(Inv‘𝑂)𝑌))
15 oppciso.s . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
161, 6, 3, 5, 4, 15isoval 16778 . 2 (𝜑 → (𝑌𝐼𝑋) = dom (𝑌(Inv‘𝐶)𝑋))
179, 14, 163eqtr4d 2872 1 (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝑌𝐼𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  dom cdm 5343  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  Catccat 16678  oppCatcoppc 16724  Invcinv 16758  Isociso 16759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-hom 16330  df-cco 16331  df-cat 16682  df-cid 16683  df-oppc 16725  df-sect 16760  df-inv 16761  df-iso 16762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator