Theorem vdegp1ai 29482

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5376	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14425	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6656	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1ai.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
11		wrdv 14436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
16		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14437	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		id 22	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
22		vdegp1ai.xu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
23	22	necomi 2979	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
24		vdegp1ai.yu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
25	24	necomi 2979	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑌
26	23, 25	prneli 4608	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
28	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27	p1evtxdeq 29459	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
29	1, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
30		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
31	29, 30	eqtri 2752	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  Fun wfun 6476  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009   ≤ cle 11150  2c2 12183  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14502  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  VtxDegcvtxdg 29411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-xadd 13015  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-vtx 28943  df-iedg 28944  df-vtxdg 29412

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  30196  konigsberglem2  30197  konigsberglem3  30198