MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 29302
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of π‘ˆ in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, π‘Œ} to the edge set, where 𝑋 β‰  π‘ˆ β‰  π‘Œ, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vdegp1ai.u π‘ˆ ∈ 𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
vdegp1ai.x 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu 𝑋 β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.y π‘Œ ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu π‘Œ β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.f (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 prex 5425 . . 3 {𝑋, π‘Œ} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
5 wrdf 14475 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼:(0..^(β™―β€˜πΌ))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
65ffund 6715 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
10 vdegp1ai.f . . . . 5 (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
11 wrdv 14485 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14677 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ V) β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1412, 13mpan 687 . . . . 5 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1510, 14eqtrid 2778 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
16 fvexd 6900 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ V)
17 wrdlndm 14486 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ 𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
21 id 22 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ V)
22 vdegp1ai.xu . . . . . . 7 𝑋 β‰  π‘ˆ
2322necomi 2989 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  𝑋
24 vdegp1ai.yu . . . . . . 7 π‘Œ β‰  π‘ˆ
2524necomi 2989 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  π‘Œ
2623, 25prneli 4653 . . . . 5 π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ}
2726a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ})
282, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27p1evtxdeq 29279 . . 3 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
291, 28ax-mp 5 . 2 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
30 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
3129, 30eqtri 2754 1 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ‰ wnel 3040  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   ≀ cle 11253  2c2 12271  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  βŸ¨β€œcs1 14551  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  VtxDegcvtxdg 29231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-vtxdg 29232
This theorem is referenced by:  konigsberglem1  30014  konigsberglem2  30015  konigsberglem3  30016
  Copyright terms: Public domain W3C validator