MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 29378
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of π‘ˆ in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, π‘Œ} to the edge set, where 𝑋 β‰  π‘ˆ β‰  π‘Œ, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vdegp1ai.u π‘ˆ ∈ 𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
vdegp1ai.x 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu 𝑋 β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.y π‘Œ ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu π‘Œ β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.f (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 prex 5438 . . 3 {𝑋, π‘Œ} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
5 wrdf 14511 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼:(0..^(β™―β€˜πΌ))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
65ffund 6731 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
10 vdegp1ai.f . . . . 5 (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
11 wrdv 14521 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14713 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ V) β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1412, 13mpan 688 . . . . 5 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1510, 14eqtrid 2780 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
16 fvexd 6917 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ V)
17 wrdlndm 14522 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ 𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
21 id 22 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ V)
22 vdegp1ai.xu . . . . . . 7 𝑋 β‰  π‘ˆ
2322necomi 2992 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  𝑋
24 vdegp1ai.yu . . . . . . 7 π‘Œ β‰  π‘ˆ
2524necomi 2992 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  π‘Œ
2623, 25prneli 4663 . . . . 5 π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ}
2726a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ})
282, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27p1evtxdeq 29355 . . 3 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
291, 28ax-mp 5 . 2 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
30 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
3129, 30eqtri 2756 1 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ‰ wnel 3043  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  {csn 4632  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Fun wfun 6547  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148   ≀ cle 11289  2c2 12307  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331  Word cword 14506   ++ cconcat 14562  βŸ¨β€œcs1 14587  Vtxcvtx 28837  iEdgciedg 28838  VtxDegcvtxdg 29307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-xadd 13135  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-vtx 28839  df-iedg 28840  df-vtxdg 29308
This theorem is referenced by:  konigsberglem1  30090  konigsberglem2  30091  konigsberglem3  30092
  Copyright terms: Public domain W3C validator