Theorem vdegp1ai 30050

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5395	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14630	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6702	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1ai.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
11		wrdv 14641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
14	12, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
16		fvexd 6888	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14642	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		id 23	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
22		vdegp1ai.xu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
23	22	necomi 3009	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
24		vdegp1ai.yu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
25	24	necomi 3009	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑌
26	23, 25	prneli 4616	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
28	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27	p1evtxdeq 30027	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
29	1, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
30		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
31	29, 30	eqtri 2783	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  Fun wfun 6521  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171   ≤ cle 11315  2c2 12366  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441  Word cword 14625   ++ cconcat 14682  ⟨“cs1 14709  Vtxcvtx 29507  iEdgciedg 29508  VtxDegcvtxdg 29979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-vtx 29509  df-iedg 29510  df-vtxdg 29980

This theorem is used by:  konigsberglem1  30786  konigsberglem2  30787  konigsberglem3  30788