MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1ai 28526
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of π‘ˆ in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, π‘Œ} to the edge set, where 𝑋 β‰  π‘ˆ β‰  π‘Œ, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vdegp1ai.u π‘ˆ ∈ 𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
vdegp1ai.x 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu 𝑋 β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.y π‘Œ ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu π‘Œ β‰  π‘ˆ
vdegp1ai.f (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 prex 5394 . . 3 {𝑋, π‘Œ} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
5 wrdf 14414 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼:(0..^(β™―β€˜πΌ))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
65ffund 6677 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
10 vdegp1ai.f . . . . 5 (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©)
11 wrdv 14424 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14616 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ V) β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1412, 13mpan 689 . . . . 5 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{𝑋, π‘Œ}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
1510, 14eqtrid 2789 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {𝑋, π‘Œ}⟩}))
16 fvexd 6862 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ V)
17 wrdlndm 14425 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ 𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
21 id 22 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ V)
22 vdegp1ai.xu . . . . . . 7 𝑋 β‰  π‘ˆ
2322necomi 2999 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  𝑋
24 vdegp1ai.yu . . . . . . 7 π‘Œ β‰  π‘ˆ
2524necomi 2999 . . . . . 6 π‘ˆ β‰  π‘Œ
2623, 25prneli 4621 . . . . 5 π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ}
2726a1i 11 . . . 4 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ π‘ˆ βˆ‰ {𝑋, π‘Œ})
282, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27p1evtxdeq 28503 . . 3 ({𝑋, π‘Œ} ∈ V β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
291, 28ax-mp 5 . 2 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
30 vdegp1ai.d . 2 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
3129, 30eqtri 2765 1 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ‰ wnel 3050  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   ≀ cle 11197  2c2 12215  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  VtxDegcvtxdg 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-vtx 27991  df-iedg 27992  df-vtxdg 28456
This theorem is referenced by:  konigsberglem1  29238  konigsberglem2  29239  konigsberglem3  29240
  Copyright terms: Public domain W3C validator