Theorem vdegp1ai 29515

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5373	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14425	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6655	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1ai.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
11		wrdv 14436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
16		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14437	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		id 22	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
22		vdegp1ai.xu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
23	22	necomi 2982	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
24		vdegp1ai.yu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
25	24	necomi 2982	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑌
26	23, 25	prneli 4606	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
28	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27	p1evtxdeq 29492	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
29	1, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
30		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
31	29, 30	eqtri 2754	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∉ wnel 3032  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   ≤ cle 11147  2c2 12180  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14503  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  VtxDegcvtxdg 29444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-vtx 28976  df-iedg 28977  df-vtxdg 29445

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  30232  konigsberglem2  30233  konigsberglem3  30234