Theorem vdegp1ai 29559

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai.yu	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5380	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14439	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6664	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1ai.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
11		wrdv 14450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
16		fvexd 6847	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14451	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		id 22	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
22		vdegp1ai.xu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
23	22	necomi 2984	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
24		vdegp1ai.yu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
25	24	necomi 2984	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑌
26	23, 25	prneli 4611	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
28	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27	p1evtxdeq 29536	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
29	1, 28	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
30		vdegp1ai.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
31	29, 30	eqtri 2757	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∉ wnel 3034  {crab 3397  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Fun wfun 6484  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024   ≤ cle 11165  2c2 12198  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Word cword 14434   ++ cconcat 14491  ⟨“cs1 14517  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  VtxDegcvtxdg 29488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-xadd 13025  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-vtx 29020  df-iedg 29021  df-vtxdg 29489

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  30276  konigsberglem2  30277  konigsberglem3  30278