Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrexpclnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell14qrexpclnn0 41908
Description: Lemma for pell14qrexpcl 41909. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrexpclnn0 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘0))
21eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘Ž = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
32imbi2d 339 . . . 4 (๐‘Ž = 0 โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
4 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐‘))
54eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
65imbi2d 339 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
7 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)))
87eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
98imbi2d 339 . . . 4 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
10 oveq2 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐ต))
1110eleq1d 2816 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
1211imbi2d 339 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
13 pell14qrre 41899 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413recnd 11248 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1514exp0d 14111 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
16 pell14qrne0 41900 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
1714, 16dividd 11994 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) = 1)
1815, 17eqtr4d 2773 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = (๐ด / ๐ด))
19 pell14qrdivcl 41907 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
20193anidm23 1419 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
2118, 20eqeltrd 2831 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
22143ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2422, 23expp1d 14118 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
25 simp2l 1197 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN))
26 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
27 simp2r 1198 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
28 pell14qrmulcl 41905 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
3024, 29eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
31303exp 1117 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
3231a2d 29 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
333, 6, 9, 12, 21, 32nn0ind 12663 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
3433expdcom 413 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
35343imp 1109 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โˆ– cdif 3946  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  โ„•0cn0 12478  โ†‘cexp 14033  โ—ปNNcsquarenn 41878  Pell14QRcpell14qr 41881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-pell14qr 41885  df-pell1234qr 41886
This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  41909
  Copyright terms: Public domain W3C validator