Theorem pell14qrexpclnn0 43104

Description: Lemma for pell14qrexpcl 43105. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpclnn0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
4		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
5	4	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
8	7	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
10		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐵))
11	10	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
13		pell14qrre 43095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = 1)
16		pell14qrne0 43096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	dividd 11915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
18	15, 17	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = (𝐴 / 𝐴))
19		pell14qrdivcl 43103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	3anidm23 1423	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	18, 20	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
24	22, 23	expp1d 14070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
25		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
27		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
28		pell14qrmulcl 43101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
30	24, 29	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
31	30	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	nn0ind 12587	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
34	33	expdcom 414	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
35	34	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984  ◻_NNcsquarenn 43074  Pell14QRcpell14qr 43077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-pell14qr 43081  df-pell1234qr 43082

This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  43105