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Theorem pell14qrexpclnn0 40226
 Description: Lemma for pell14qrexpcl 40227. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrexpclnn0 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7165 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴𝑎) = (𝐴↑0))
21eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
32imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
4 oveq2 7165 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
54eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
65imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7 oveq2 7165 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
87eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
98imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
10 oveq2 7165 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝐵))
1110eleq1d 2837 . . . . 5 (𝑎 = 𝐵 → ((𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
1211imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝐵 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
13 pell14qrre 40217 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413recnd 10721 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1514exp0d 13568 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = 1)
16 pell14qrne0 40218 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
1714, 16dividd 11466 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
1815, 17eqtr4d 2797 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = (𝐴 / 𝐴))
19 pell14qrdivcl 40225 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20193anidm23 1419 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
2118, 20eqeltrd 2853 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22143ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2422, 23expp1d 13575 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴𝑏) · 𝐴))
25 simp2l 1197 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
27 simp2r 1198 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
28 pell14qrmulcl 40223 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
3024, 29eqeltrd 2853 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
31303exp 1117 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
3231a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
333, 6, 9, 12, 21, 32nn0ind 12130 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
3433expdcom 418 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
35343imp 1109 1 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3858  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  0cc0 10589  1c1 10590   + caddc 10592   · cmul 10594   / cdiv 11349  ℕcn 11688  ℕ0cn0 11948  ↑cexp 13493  ◻NNcsquarenn 40196  Pell14QRcpell14qr 40199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-sup 8953  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-seq 13433  df-exp 13494  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-pell14qr 40203  df-pell1234qr 40204 This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  40227
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