Theorem pell14qrexpclnn0 40688

Description: Lemma for pell14qrexpcl 40689. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpclnn0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
3	2	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
4		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
5	4	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
6	5	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
8	7	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
9	8	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
10		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐵))
11	10	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
12	11	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
13		pell14qrre 40679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 13858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = 1)
16		pell14qrne0 40680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	dividd 11749	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
18	15, 17	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = (𝐴 / 𝐴))
19		pell14qrdivcl 40687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	3anidm23 1420	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	18, 20	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	14	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
24	22, 23	expp1d 13865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
25		simp2l 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
27		simp2r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
28		pell14qrmulcl 40685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
30	24, 29	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
31	30	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	nn0ind 12415	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
34	33	expdcom 415	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
35	34	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  ◻_NNcsquarenn 40658  Pell14QRcpell14qr 40661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666

This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  40689