Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrexpclnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell14qrexpclnn0 41604
Description: Lemma for pell14qrexpcl 41605. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrexpclnn0 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘0))
21eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘Ž = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
32imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = 0 โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
4 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐‘))
54eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
65imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
7 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)))
87eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
98imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
10 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐ต))
1110eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
1211imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ต โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†” ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
13 pell14qrre 41595 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1514exp0d 14105 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
16 pell14qrne0 41596 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
1714, 16dividd 11988 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) = 1)
1815, 17eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) = (๐ด / ๐ด))
19 pell14qrdivcl 41603 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
20193anidm23 1422 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ด / ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
2118, 20eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘0) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
22143ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
23 simp1 1137 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2422, 23expp1d 14112 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
25 simp2l 1200 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN))
26 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
27 simp2r 1201 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
28 pell14qrmulcl 41601 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
2925, 26, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
3024, 29eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
31303exp 1120 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
3231a2d 29 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
333, 6, 9, 12, 21, 32nn0ind 12657 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท)))
3433expdcom 416 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))))
35343imp 1112 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท) โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐ต) โˆˆ (Pell14QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3946  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  โ—ปNNcsquarenn 41574  Pell14QRcpell14qr 41577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-pell14qr 41581  df-pell1234qr 41582
This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  41605
  Copyright terms: Public domain W3C validator