Theorem pell14qrexpclnn0 42523

Description: Lemma for pell14qrexpcl 42524. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpclnn0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
3	2	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
4		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
5	4	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
6	5	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
8	7	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
9	8	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
10		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐵))
11	10	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
12	11	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
13		pell14qrre 42514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = 1)
16		pell14qrne0 42515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	dividd 12039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
18	15, 17	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = (𝐴 / 𝐴))
19		pell14qrdivcl 42522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	3anidm23 1418	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	18, 20	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	14	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
24	22, 23	expp1d 14166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
25		simp2l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
27		simp2r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
28		pell14qrmulcl 42520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
30	24, 29	eqeltrd 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
31	30	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	nn0ind 12709	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
34	33	expdcom 413	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
35	34	3imp 1108	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   / cdiv 11921  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14081  ◻_NNcsquarenn 42493  Pell14QRcpell14qr 42496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-pell14qr 42500  df-pell1234qr 42501

This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  42524