Theorem pell14qrexpclnn0 42856

Description: Lemma for pell14qrexpcl 42857. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrexpclnn0	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrexpclnn0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑0))
2	1	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
4		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
5	4	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
6	5	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
7		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
8	7	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
10		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝐵))
11	10	eleq1d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → ((𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑎) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
13		pell14qrre 42847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = 1)
16		pell14qrne0 42848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	dividd 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) = 1)
18	15, 17	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) = (𝐴 / 𝐴))
19		pell14qrdivcl 42855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
20	19	3anidm23 1423	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	18, 20	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑0) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
22	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
23		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
24	22, 23	expp1d 14170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
25		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
26		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
27		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
28		pell14qrmulcl 42853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
30	24, 29	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ∧ (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))
31	30	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
32	31	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝑏) ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	nn0ind 12693	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
34	33	expdcom 414	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
35	34	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084  ◻_NNcsquarenn 42826  Pell14QRcpell14qr 42829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-pell14qr 42833  df-pell1234qr 42834

This theorem is referenced by:  pell14qrexpcl  42857