Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfund14gap Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pellfund14gap 42208
Description: There are no solutions between 1 and the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfund14gap ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 = 1)
Proof of Theorem pellfund14gap
StepHypRef Expression
1 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))
2 pell14qrre 42178 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
323adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 pellfundre 42202 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
543ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
63, 5ltnled 11365 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (𝐴 < (PellFundβ€˜π·) ↔ Β¬ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴))
71, 6mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ Β¬ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
8 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
10 simpr 484 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 1 < 𝐴)
11 pellfundlb 42205 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
137, 12mtand 813 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ Β¬ 1 < 𝐴)
14 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 1 ≀ 𝐴)
15 1re 11218 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 leloe 11304 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
1715, 3, 16sylancr 586 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
1814, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
19 orel1 885 . . 3 (Β¬ 1 < 𝐴 β†’ ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) β†’ 1 = 𝐴))
2013, 18, 19sylc 65 . 2 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 1 = 𝐴)
2120eqcomd 2732 1 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β—»NNcsquarenn 42157  Pell14QRcpell14qr 42160  PellFundcpellfund 42161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-squarenn 42162  df-pell1qr 42163  df-pell14qr 42164  df-pell1234qr 42165  df-pellfund 42166
This theorem is referenced by:  pellfund14  42219
  Copyright terms: Public domain W3C validator