Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfund14gap Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pellfund14gap 42371
Description: There are no solutions between 1 and the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfund14gap ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 = 1)
Proof of Theorem pellfund14gap
StepHypRef Expression
1 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))
2 pell14qrre 42341 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
323adant3 1129 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 pellfundre 42365 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
543ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
63, 5ltnled 11389 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (𝐴 < (PellFundβ€˜π·) ↔ Β¬ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴))
71, 6mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ Β¬ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
8 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
10 simpr 483 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ 1 < 𝐴)
11 pellfundlb 42368 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) ∧ 1 < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ 𝐴)
137, 12mtand 814 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ Β¬ 1 < 𝐴)
14 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 1 ≀ 𝐴)
15 1re 11242 . . . . 5 1 ∈ ℝ
16 leloe 11328 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
1715, 3, 16sylancr 585 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (1 ≀ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
1814, 17mpbid 231 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
19 orel1 886 . . 3 (Β¬ 1 < 𝐴 β†’ ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) β†’ 1 = 𝐴))
2013, 18, 19sylc 65 . 2 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 1 = 𝐴)
2120eqcomd 2731 1 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ (1 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFundβ€˜π·))) β†’ 𝐴 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3937   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  β„cr 11135  1c1 11137   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  β—»NNcsquarenn 42320  Pell14QRcpell14qr 42323  PellFundcpellfund 42324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-numer 16704  df-denom 16705  df-squarenn 42325  df-pell1qr 42326  df-pell14qr 42327  df-pell1234qr 42328  df-pellfund 42329
This theorem is referenced by:  pellfund14  42382
  Copyright terms: Public domain W3C validator