Theorem pellfund14gap 43336

Description: There are no solutions between 1 and the fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfund14gap	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 = 1)

Proof of Theorem pellfund14gap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 < (PellFund‘𝐷))
2		pell14qrre 43306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		pellfundre 43330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
6	3, 5	ltnled 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (𝐴 < (PellFund‘𝐷) ↔ ¬ (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → ¬ (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
8		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
9		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
11		pellfundlb 43333	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) ∧ 1 < 𝐴) → (PellFund‘𝐷) ≤ 𝐴)
13	7, 12	mtand 816	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → ¬ 1 < 𝐴)
14		simp3l 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 1 ≤ 𝐴)
15		1re 11138	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		leloe 11226	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
17	15, 3, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴)))
18	14, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → (1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴))
19		orel1 889	. . 3 ⊢ (¬ 1 < 𝐴 → ((1 < 𝐴 ∨ 1 = 𝐴) → 1 = 𝐴))
20	13, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 1 = 𝐴)
21	20	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ (1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (PellFund‘𝐷))) → 𝐴 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  ℝcr 11031  1c1 11033   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℕcn 12168  ◻_NNcsquarenn 43285  Pell14QRcpell14qr 43288  PellFundcpellfund 43289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-numer 16699  df-denom 16700  df-squarenn 43290  df-pell1qr 43291  df-pell14qr 43292  df-pell1234qr 43293  df-pellfund 43294

This theorem is referenced by:  pellfund14  43347