Theorem pellfundgt1 44036

Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundgt1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11322	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	peano2nnd 12365	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13175	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
5	4	rpsqrtcld 15594	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 13177	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 13175	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15594	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13177	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10	6, 9	readdcld 11351	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11		pellfundre 44034	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12		sqrt1 15453	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
13	12, 1	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
14	13, 13	readdcld 11351	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12528	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	12, 12	oveq12i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17		1p1e2 12479	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
18	16, 17	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = 2
19	15, 18	breqtrri 5135	. . . 4 ⊢ 1 < ((√‘1) + (√‘1))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
21	3	nnge1d 12399	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22		0le1 11852	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
24	2	nnred 12363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		peano2re 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
27	3	nnnn0d 12680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0ge0d 12683	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
29	1, 23, 26, 28	sqrtled 15609	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
30	21, 29	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
31	2	nnge1d 12399	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
32	2	nnnn0d 12680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12683	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
34	1, 23, 24, 33	sqrtled 15609	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
35	31, 34	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
36	13, 13, 6, 9, 30, 35	le2addd 11948	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
37	1, 14, 10, 20, 36	ltletrd 11483	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38		pellfundge 44035	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
39	1, 10, 11, 37, 38	ltletrd 11483	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   < clt 11356   ≤ cle 11357  ℕcn 12348  2c2 12410  √csqrt 15415  ◻_NNcsquarenn 43989  PellFundcpellfund 43993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-ico 13495  df-fz 13653  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-numer 16926  df-denom 16927  df-squarenn 43994  df-pell1qr 43995  df-pell14qr 43996  df-pell1234qr 43997  df-pellfund 43998

This theorem is used by:  pellfundex  44039  pellfundrp  44041  pellfundne1  44042  pellfund14  44051