Theorem pellfundgt1 41606

Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundgt1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11211	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		eldifi 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	peano2nnd 12225	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13010	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
5	4	rpsqrtcld 15354	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 13012	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 13010	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15354	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13012	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10	6, 9	readdcld 11239	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11		pellfundre 41604	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12		sqrt1 15214	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
13	12, 1	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
14	13, 13	readdcld 11239	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12379	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	12, 12	oveq12i 7417	. . . . . 6 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17		1p1e2 12333	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
18	16, 17	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = 2
19	15, 18	breqtrri 5174	. . . 4 ⊢ 1 < ((√‘1) + (√‘1))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
21	3	nnge1d 12256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22		0le1 11733	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
24	2	nnred 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		peano2re 11383	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
27	3	nnnn0d 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0ge0d 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
29	1, 23, 26, 28	sqrtled 15369	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
30	21, 29	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
31	2	nnge1d 12256	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
32	2	nnnn0d 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
34	1, 23, 24, 33	sqrtled 15369	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
35	31, 34	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
36	13, 13, 6, 9, 30, 35	le2addd 11829	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
37	1, 14, 10, 20, 36	ltletrd 11370	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38		pellfundge 41605	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
39	1, 10, 11, 37, 38	ltletrd 11370	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  2c2 12263  √csqrt 15176  ◻_NNcsquarenn 41559  PellFundcpellfund 41563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568

This theorem is referenced by:  pellfundex  41609  pellfundrp  41611  pellfundne1  41612  pellfund14  41621