Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundgt1 42215
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 < (PellFundβ€˜π·))

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 11231 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 eldifi 4122 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 𝐷 ∈ β„•)
32peano2nnd 12245 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•)
43nnrpd 13032 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
54rpsqrtcld 15376 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
65rpred 13034 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
72nnrpd 13032 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 15376 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜π·) ∈ ℝ+)
98rpred 13034 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜π·) ∈ ℝ)
106, 9readdcld 11259 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) + (βˆšβ€˜π·)) ∈ ℝ)
11 pellfundre 42213 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
12 sqrt1 15236 . . . . 5 (βˆšβ€˜1) = 1
1312, 1eqeltrid 2832 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜1) ∈ ℝ)
1413, 13readdcld 11259 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1)) ∈ ℝ)
15 1lt2 12399 . . . . 5 1 < 2
1612, 12oveq12i 7426 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1)) = (1 + 1)
17 1p1e2 12353 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1816, 17eqtri 2755 . . . . 5 ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1)) = 2
1915, 18breqtrri 5169 . . . 4 1 < ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1))
2019a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 < ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1)))
213nnge1d 12276 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 ≀ (𝐷 + 1))
22 0le1 11753 . . . . . . 7 0 ≀ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 0 ≀ 1)
242nnred 12243 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
25 peano2re 11403 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
273nnnn0d 12548 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (𝐷 + 1) ∈ β„•0)
2827nn0ge0d 12551 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 0 ≀ (𝐷 + 1))
291, 23, 26, 28sqrtled 15391 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (1 ≀ (𝐷 + 1) ↔ (βˆšβ€˜1) ≀ (βˆšβ€˜(𝐷 + 1))))
3021, 29mpbid 231 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜1) ≀ (βˆšβ€˜(𝐷 + 1)))
312nnge1d 12276 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 ≀ 𝐷)
322nnnn0d 12548 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
3332nn0ge0d 12551 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 0 ≀ 𝐷)
341, 23, 24, 33sqrtled 15391 . . . . 5 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (1 ≀ 𝐷 ↔ (βˆšβ€˜1) ≀ (βˆšβ€˜π·)))
3531, 34mpbid 231 . . . 4 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (βˆšβ€˜1) ≀ (βˆšβ€˜π·))
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 11849 . . 3 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((βˆšβ€˜1) + (βˆšβ€˜1)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) + (βˆšβ€˜π·)))
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 11390 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 < ((βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) + (βˆšβ€˜π·)))
38 pellfundge 42214 . 2 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ ((βˆšβ€˜(𝐷 + 1)) + (βˆšβ€˜π·)) ≀ (PellFundβ€˜π·))
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 11390 1 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ 1 < (PellFundβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3941   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≀ cle 11265  β„•cn 12228  2c2 12283  βˆšcsqrt 15198  β—»NNcsquarenn 42168  PellFundcpellfund 42172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-numer 16692  df-denom 16693  df-squarenn 42173  df-pell1qr 42174  df-pell14qr 42175  df-pell1234qr 42176  df-pellfund 42177
This theorem is referenced by:  pellfundex  42218  pellfundrp  42220  pellfundne1  42221  pellfund14  42230
  Copyright terms: Public domain W3C validator