Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundgt1 39822
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1red 10631 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2 eldifi 4054 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
32peano2nnd 11642 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
43nnrpd 12417 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
54rpsqrtcld 14763 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
65rpred 12419 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
72nnrpd 12417 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpsqrtcld 14763 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
98rpred 12419 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
106, 9readdcld 10659 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11 pellfundre 39820 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12 sqrt1 14623 . . . . 5 (√‘1) = 1
1312, 1eqeltrid 2894 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
1413, 13readdcld 10659 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15 1lt2 11796 . . . . 5 1 < 2
1612, 12oveq12i 7147 . . . . . 6 ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17 1p1e2 11750 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1816, 17eqtri 2821 . . . . 5 ((√‘1) + (√‘1)) = 2
1915, 18breqtrri 5057 . . . 4 1 < ((√‘1) + (√‘1))
2019a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
213nnge1d 11673 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22 0le1 11152 . . . . . . 7 0 ≤ 1
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
242nnred 11640 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 peano2re 10802 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
273nnnn0d 11943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
2827nn0ge0d 11946 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
291, 23, 26, 28sqrtled 14778 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
3021, 29mpbid 235 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
312nnge1d 11673 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
322nnnn0d 11943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11946 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
341, 23, 24, 33sqrtled 14778 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
3531, 34mpbid 235 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
3613, 13, 6, 9, 30, 35le2addd 11248 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
371, 14, 10, 20, 36ltletrd 10789 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38 pellfundge 39821 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
391, 10, 11, 37, 38ltletrd 10789 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  cdif 3878   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cn 11625  2c2 11680  csqrt 14584  NNcsquarenn 39775  PellFundcpellfund 39779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-numer 16065  df-denom 16066  df-squarenn 39780  df-pell1qr 39781  df-pell14qr 39782  df-pell1234qr 39783  df-pellfund 39784
This theorem is referenced by:  pellfundex  39825  pellfundrp  39827  pellfundne1  39828  pellfund14  39837
  Copyright terms: Public domain W3C validator