Theorem pellfundgt1 42367

Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundgt1	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11243	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ∈ ℝ)
2		eldifi 4119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
3	2	peano2nnd 12257	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13044	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
5	4	rpsqrtcld 15388	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 13046	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 13044	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
8	7	rpsqrtcld 15388	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 13046	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
10	6, 9	readdcld 11271	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
11		pellfundre 42365	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) ∈ ℝ)
12		sqrt1 15248	. . . . 5 ⊢ (√‘1) = 1
13	12, 1	eqeltrid 2829	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ∈ ℝ)
14	13, 13	readdcld 11271	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ∈ ℝ)
15		1lt2 12411	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
16	12, 12	oveq12i 7427	. . . . . 6 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = (1 + 1)
17		1p1e2 12365	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
18	16, 17	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((√‘1) + (√‘1)) = 2
19	15, 18	breqtrri 5170	. . . 4 ⊢ 1 < ((√‘1) + (√‘1))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘1) + (√‘1)))
21	3	nnge1d 12288	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ (𝐷 + 1))
22		0le1 11765	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 1)
24	2	nnred 12255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		peano2re 11415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ)
27	3	nnnn0d 12560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ0)
28	27	nn0ge0d 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ (𝐷 + 1))
29	1, 23, 26, 28	sqrtled 15403	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ (𝐷 + 1) ↔ (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1))))
30	21, 29	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘(𝐷 + 1)))
31	2	nnge1d 12288	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 ≤ 𝐷)
32	2	nnnn0d 12560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 0 ≤ 𝐷)
34	1, 23, 24, 33	sqrtled 15403	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (1 ≤ 𝐷 ↔ (√‘1) ≤ (√‘𝐷)))
35	31, 34	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘1) ≤ (√‘𝐷))
36	13, 13, 6, 9, 30, 35	le2addd 11861	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘1) + (√‘1)) ≤ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
37	1, 14, 10, 20, 36	ltletrd 11402	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)))
38		pellfundge 42366	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
39	1, 10, 11, 37, 38	ltletrd 11402	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 1 < (PellFund‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3937   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276   ≤ cle 11277  ℕcn 12240  2c2 12295  √csqrt 15210  ◻_NNcsquarenn 42320  PellFundcpellfund 42324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-numer 16704  df-denom 16705  df-squarenn 42325  df-pell1qr 42326  df-pell14qr 42327  df-pell1234qr 42328  df-pellfund 42329

This theorem is referenced by:  pellfundex  42370  pellfundrp  42372  pellfundne1  42373  pellfund14  42382