MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mpl0 22181
Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl0.m 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mpl0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1mpl0 0 = (0g𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl0.z . 2 0 = (0g𝑃)
2 eqidd 2729 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3 ply1mpl0.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 22121 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7 ply1mpl0.m . . . . . . 7 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
87fveq2i 6905 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
96, 8eqtr4i 2759 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g𝑃)
123, 7, 11ply1plusg 22149 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑀)
1312a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (+g𝑃) = (+g𝑀))
1413oveqdr 7454 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
152, 10, 14grpidpropd 18629 . . 3 (⊤ → (0g𝑃) = (0g𝑀))
1615mptru 1540 . 2 (0g𝑃) = (0g𝑀)
171, 16eqtri 2756 1 0 = (0g𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8486  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428   mPoly cmpl 21846  PwSer1cps1 22101  Poly1cpl1 22103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-ple 17260  df-0g 17430  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108
This theorem is referenced by:  coe1z  22189  ply1coe  22224  deg1z  26043  deg1nn0cl  26044  deg1ldg  26048  ply1nzb  26078
  Copyright terms: Public domain W3C validator