Theorem ply1mpl0 21531

Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl0.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 21471	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		ply1mpl0.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6832	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1plusg 21501	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀))
14	13	oveqdr 7369	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	grpidpropd 18443	. . 3 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀))
16	15	mptru 1548	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2765	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  1_oc1o 8364  Basecbs 17009  +_gcplusg 17059  0_gc0g 17247   mPoly cmpl 21214  PwSer₁cps1 21451  Poly₁cpl1 21453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-dec 12543  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-ple 17079  df-0g 17249  df-psr 21217  df-mpl 21219  df-opsr 21221  df-psr1 21456  df-ply1 21458

This theorem is referenced by:  coe1z  21539  ply1coe  21572  deg1z  25357  deg1nn0cl  25358  deg1ldg  25362  ply1nzb  25392