Theorem ply1mpl0 22384

Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl0.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	3, 4	ply1bas 22323	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
6		ply1mpl0.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
7	6	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
8	5, 7	eqtr4i 2795	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
10		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
11	3, 6, 10	ply1plusg 22351	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀))
13	12	oveqdr 7439	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
14	2, 9, 13	grpidpropd 18719	. . 3 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀))
15	14	mptru 1574	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀)
16	1, 15	eqtri 2792	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8445  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   mPoly cmpl 22024  Poly₁cpl1 22305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-ple 17329  df-0g 17493  df-psr 22027  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-psr1 22308  df-ply1 22310

This theorem is referenced by:  coe1z  22392  ply1coe  22426  deg1z  26212  deg1nn0cl  26213  deg1ldg  26217  ply1nzb  26248  selvply1rhm0  33860