Theorem ply1mpl0 21776

Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl0.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 21718	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7		ply1mpl0.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1plusg 21746	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀))
14	13	oveqdr 7436	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	grpidpropd 18580	. . 3 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀))
16	15	mptru 1548	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2760	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1_oc1o 8458  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384   mPoly cmpl 21458  PwSer₁cps1 21698  Poly₁cpl1 21700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-dec 12677  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-ple 17216  df-0g 17386  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705

This theorem is referenced by:  coe1z  21784  ply1coe  21819  deg1z  25604  deg1nn0cl  25605  deg1ldg  25609  ply1nzb  25639