Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mpl0 20423
 Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl0.m 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mpl0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1mpl0 0 = (0g𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl0.z . 2 0 = (0g𝑃)
2 eqidd 2825 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3 ply1mpl0.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2824 . . . . . . 7 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
5 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 20363 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
7 ply1mpl0.m . . . . . . 7 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
87fveq2i 6664 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
96, 8eqtr4i 2850 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g𝑃)
123, 7, 11ply1plusg 20393 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑀)
1312a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (+g𝑃) = (+g𝑀))
1413oveqdr 7177 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
152, 10, 14grpidpropd 17872 . . 3 (⊤ → (0g𝑃) = (0g𝑀))
1615mptru 1545 . 2 (0g𝑃) = (0g𝑀)
171, 16eqtri 2847 1 0 = (0g𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1oc1o 8091  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713   mPoly cmpl 20133  PwSer1cps1 20343  Poly1cpl1 20345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-ple 16585  df-0g 16715  df-psr 20136  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-psr1 20348  df-ply1 20350 This theorem is referenced by:  coe1z  20431  ply1coe  20464  deg1z  24691  deg1nn0cl  24692  deg1ldg  24696  ply1nzb  24726
 Copyright terms: Public domain W3C validator