MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mpl0 19840
Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl0.m 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mpl0.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1mpl0 0 = (0g𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl0.z . 2 0 = (0g𝑃)
2 eqidd 2772 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3 ply1mpl0.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 19780 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7 ply1mpl0.m . . . . . . 7 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
87fveq2i 6336 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
96, 8eqtr4i 2796 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g𝑃)
123, 7, 11ply1plusg 19810 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑀)
1312a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (+g𝑃) = (+g𝑀))
1413oveqdr 6823 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
152, 10, 14grpidpropd 17469 . . 3 (⊤ → (0g𝑃) = (0g𝑀))
1615trud 1641 . 2 (0g𝑃) = (0g𝑀)
171, 16eqtri 2793 1 0 = (0g𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  1𝑜c1o 7710  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   mPoly cmpl 19568  PwSer1cps1 19760  Poly1cpl1 19762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-dec 11701  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-ple 16169  df-0g 16310  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767
This theorem is referenced by:  coe1z  19848  ply1coe  19881  deg1z  24067  deg1nn0cl  24068  deg1ldg  24072  ply1nzb  24102
  Copyright terms: Public domain W3C validator