Theorem deg1z 26022

Description: Degree of the zero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem deg1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8498	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3	2	deg1fval 26015	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
5		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1mpl0 22173	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
8	3, 4, 7	mdeg0 26005	. 2 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
9	1, 8	mpan 689	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Oncon0 6369  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1_oc1o 8479  -∞cmnf 11276  0_gc0g 17420  Ringcrg 20172   mPoly cmpl 21838  Poly₁cpl1 22095   deg₁ cdg1 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-ring 20174  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22098  df-ply1 22100  df-mdeg 25987  df-deg1 25988

This theorem is referenced by:  deg1nn0clb  26025  deg1lt0  26026  deg1add  26038  ply1divex  26071  dvdsq1p  26096  ply1degltel  33261  ply1degleel  33262  ply1degltlss  33263  ply1degltdimlem  33316  aks6d1c5lem3  41608  hbtlem2  42548