Theorem deg1z 25968

Description: Degree of the zero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1z	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Proof of Theorem deg1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8423	. 2 ⊢ 1o ∈ On
2		deg1z.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 25961	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
5		deg1z.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		deg1z.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1mpl0 22117	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
8	3, 4, 7	mdeg0 25951	. 2 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐷‘ 0 ) = -∞)
9	1, 8	mpan 690	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘ 0 ) = -∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Oncon0 6320  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404  -∞cmnf 11182  0_gc0g 17378  Ringcrg 20118   mPoly cmpl 21791  Poly₁cpl1 22037  deg₁cdg1 25935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-ring 20120  df-psr 21794  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-psr1 22040  df-ply1 22042  df-mdeg 25936  df-deg1 25937

This theorem is referenced by:  deg1nn0clb  25971  deg1lt0  25972  deg1add  25984  ply1divex  26018  dvdsq1p  26044  ply1degltel  33533  ply1degleel  33534  ply1degltlss  33535  ply1degltdimlem  33591  aks6d1c5lem3  42098  hbtlem2  43086