Theorem deg1nn0cl 26020

Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem deg1nn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26012	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1z.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1mpl0 22169	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1nn0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	4, 7	ply1bas 22107	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	2, 3, 6, 8	mdegnn0cl 26003	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Ringcrg 20151   mPoly cmpl 21843  Poly₁cpl1 22089  deg₁cdg1 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-cnfld 21292  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-ply1 22094  df-mdeg 25987  df-deg1 25988

This theorem is referenced by:  deg1n0ima  26021  deg1nn0clb  26022  deg1lt0  26023  deg1ldg  26024  deg1ldgdomn  26026  coe1mul4  26032  deg1add  26035  deg1scl  26045  deg1mul2  26046  deg1mul  26047  ply1domn  26056  ply1divmo  26068  ply1divex  26069  uc1pdeg  26080  deg1submon1p  26085  fta1glem1  26100  fta1g  26102  drnguc1p  26106  ply1unit  33538  ply1dg3rt0irred  33546  ply1degltel  33555  ply1degleel  33556  ig1pmindeg  33562  irngnzply1lem  33703  minplyirredlem  33723  irredminply  33729  algextdeglem7  33736  algextdeglem8  33737  deg1gprod  42243  deg1pow  42244  mon1psubm  43302  deg1mhm  43303