Theorem deg1nn0cl 26316

Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem deg1nn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26308	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1z.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1mpl0 22484	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1nn0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	4, 7	ply1bas 22423	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	2, 3, 6, 8	mdegnn0cl 26299	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8451  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375   mPoly cmpl 22124  Poly₁cpl1 22405  deg₁cdg1 26282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-cnfld 21589  df-psr 22127  df-mpl 22129  df-opsr 22131  df-psr1 22408  df-ply1 22410  df-mdeg 26283  df-deg1 26284

This theorem is used by:  deg1n0ima  26317  deg1nn0clb  26318  deg1lt0  26319  deg1ldg  26320  deg1ldgdomn  26322  coe1mul4  26328  deg1add  26331  deg1scl  26341  deg1mul2  26342  deg1mul  26343  ply1domn  26352  ply1divmo  26364  ply1divex  26365  uc1pdeg  26376  deg1submon1p  26381  fta1glem1  26396  fta1g  26398  drnguc1p  26402  ply1unit  33988  deg1prod  33996  ply1dg3rt0irred  33997  ply1coedeg  34002  ply1degltel  34007  ply1degleel  34008  ig1pmindeg  34015  irngnzply1lem  34203  minplyirredlem  34223  irredminply  34229  algextdeglem7  34236  algextdeglem8  34237  deg1gprod  43009  deg1pow  43010  mon1psubm  44043  deg1mhm  44044