MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1nn0cl 25381
Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0cl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem deg1nn0cl
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
21deg1fval 25373 . 2 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3 eqid 2738 . 2 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4 deg1z.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 deg1z.z . . 3 0 = (0g𝑃)
63, 4, 5ply1mpl0 21554 . 2 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
7 eqid 2738 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
8 deg1nn0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
94, 7, 8ply1bas 21494 . 2 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
102, 3, 6, 9mdegnn0cl 25364 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cfv 6492  (class class class)co 7350  1oc1o 8373  0cn0 12347  Basecbs 17019  0gc0g 17257  Ringcrg 19894   mPoly cmpl 21237  PwSer1cps1 21474  Poly1cpl1 21476   deg1 cdg1 25344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-sup 9312  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-seq 13837  df-hash 14160  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-subg 18860  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-cring 19897  df-cnfld 20726  df-psr 21240  df-mpl 21242  df-opsr 21244  df-psr1 21479  df-ply1 21481  df-mdeg 25345  df-deg1 25346
This theorem is referenced by:  deg1n0ima  25382  deg1nn0clb  25383  deg1lt0  25384  deg1ldg  25385  deg1ldgdomn  25387  coe1mul4  25393  deg1add  25396  deg1scl  25406  deg1mul2  25407  ply1domn  25416  ply1divmo  25428  ply1divex  25429  uc1pdeg  25440  deg1submon1p  25445  fta1glem1  25458  fta1g  25460  drnguc1p  25463  minplyeulem  32153  mon1psubm  41435  deg1mhm  41436
  Copyright terms: Public domain W3C validator