Theorem deg1nn0cl 26418

Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0cl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem deg1nn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2	1	deg1fval 26410	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
4		deg1z.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		deg1z.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1mpl0 22586	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑅))
7		deg1nn0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8	4, 7	ply1bas 22525	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
9	2, 3, 6, 8	mdegnn0cl 26401	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1_oc1o 8480  ℕ₀cn0 12616  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  Ringcrg 20471   mPoly cmpl 22226  Poly₁cpl1 22507  deg₁cdg1 26384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-cnfld 21691  df-psr 22229  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-ply1 22512  df-mdeg 26385  df-deg1 26386

This theorem is used by:  deg1n0ima  26419  deg1nn0clb  26420  deg1lt0  26421  deg1ldg  26422  deg1ldgdomn  26424  coe1mul4  26430  deg1add  26433  deg1scl  26443  deg1mul2  26444  deg1mul  26445  ply1domn  26454  ply1divmo  26466  ply1divex  26467  uc1pdeg  26478  deg1submon1p  26483  fta1glem1  26498  fta1g  26500  drnguc1p  26504  ply1unit  34160  deg1prod  34168  ply1dg3rt0irred  34169  ply1coedeg  34174  ply1degltel  34179  ply1degleel  34180  ig1pmindeg  34187  irngnzply1lem  34375  minplyirredlem  34395  irredminply  34401  algextdeglem7  34408  algextdeglem8  34409  deg1gprod  43330  deg1pow  43331  mon1psubm  44341  deg1mhm  44342