Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2nn1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2nn1st 43407
Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2nn1st (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st
StepHypRef Expression
1 2nn 11448 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3 blennnelnn 43378 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
4 nnm1nn0 11685 . . . 4 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6 nnre 11382 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 nnnn0 11650 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
87nn0ge0d 11705 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9 elrege0 12592 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
106, 8, 9sylanbrc 578 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11 nn0digval 43402 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2))
122, 5, 10, 11syl3anc 1439 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2))
13 n2dvds1 15496 . . . 4 ¬ 2 ∥ 1
14 blennn 43377 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
1514oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16 2z 11761 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
17 uzid 12007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘2)
19 nnrp 12150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
20 relogbzcl 24952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2221flcld 12918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
2322zcnd 11835 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24 pncan1 10799 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2615, 25eqtrd 2813 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
2726oveq2d 6938 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
2827oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁)))))
2928fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))))
30 fldivexpfllog2 43367 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
3119, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
3229, 31eqtrd 2813 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 1)
3332breq2d 4898 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
3413, 33mtbiri 319 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))))
35 2re 11449 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
3736, 5reexpcld 13344 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
38 2cnd 11453 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
39 2ne0 11486 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
415nn0zd 11832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℤ)
4238, 40, 41expne0d 13333 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ≠ 0)
436, 37, 42redivcld 11203 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
4443flcld 12918 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ∈ ℤ)
45 mod2eq1n2dvds 15475 . . . 4 ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1))))))
4734, 46mpbird 249 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b𝑁) − 1)))) mod 2) = 1)
4812, 47eqtrd 2813 1 (𝑁 ∈ ℕ → (((#b𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  +∞cpnf 10408  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  [,)cico 12489  cfl 12910   mod cmo 12987  cexp 13178  cdvds 15387   logb clogb 24942  #bcblen 43371  digitcdig 43397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741  df-logb 24943  df-blen 43372  df-dig 43398
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator