Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2nn1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2nn1st 47790
Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2nn1st (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st
StepHypRef Expression
1 2nn 12315 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
3 blennnelnn 47761 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (#bβ€˜π‘) ∈ β„•)
4 nnm1nn0 12543 . . . 4 ((#bβ€˜π‘) ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6 nnre 12249 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7 nnnn0 12509 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
87nn0ge0d 12565 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑁)
9 elrege0 13463 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁))
106, 8, 9sylanbrc 581 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11 nn0digval 47785 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2))
122, 5, 10, 11syl3anc 1368 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2))
13 n2dvds1 16344 . . . 4 Β¬ 2 βˆ₯ 1
14 blennn 47760 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (#bβ€˜π‘) = ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1))
1514oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) = (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1))
16 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
17 uzid 12867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
19 nnrp 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
20 relogbzcl 26724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2221flcld 13795 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„€)
2322zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„‚)
24 pncan1 11668 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2615, 25eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2726oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) = (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))
2827oveq2d 7432 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))) = (𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))))
2928fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))))
30 fldivexpfllog2 47750 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))) = 1)
3119, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))) = 1)
3229, 31eqtrd 2765 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) = 1)
3332breq2d 5155 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ↔ 2 βˆ₯ 1))
3413, 33mtbiri 326 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))))
35 2re 12316 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
3736, 5reexpcld 14159 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
38 2cnd 12320 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
39 2ne0 12346 . . . . . . . 8 2 β‰  0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
415nn0zd 12614 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4238, 40, 41expne0d 14148 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) β‰  0)
436, 37, 42redivcld 12072 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
4443flcld 13795 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
45 mod2eq1n2dvds 16323 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ∈ β„€ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))))))
4734, 46mpbird 256 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1)
4812, 47eqtrd 2765 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  +∞cpnf 11275   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  [,)cico 13358  βŒŠcfl 13787   mod cmo 13866  β†‘cexp 14058   βˆ₯ cdvds 16230   logb clogb 26714  #bcblen 47754  digitcdig 47780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509  df-logb 26715  df-blen 47755  df-dig 47781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator