Theorem dig2nn1st 48847

Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dig2nn1st	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3		blennnelnn 48818	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12442	. . . 4 ⊢ ((#b‘𝑁) ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6		nnre 12152	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7		nnnn0 12408	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	7	nn0ge0d 12465	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
9		elrege0 13370	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11		nn0digval 48842	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
12	2, 5, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2))
13		n2dvds1 16295	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
14		blennn 48817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
15	14	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1))
16		2z 12523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		uzid 12766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
19		nnrp 12917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
20		relogbzcl 26740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
24		pncan1 11561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
26	15, 25	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
27	26	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) = (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))
28	27	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) = (𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁)))))
29	28	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))))
30		fldivexpfllog2 48807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑(⌊‘(2 logb 𝑁))))) = 1)
32	29, 31	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) = 1)
33	32	breq2d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ↔ 2 ∥ 1))
34	13, 33	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))))
35		2re 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
37	36, 5	reexpcld 14086	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
38		2cnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
39		2ne0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
41	5	nn0zd 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#b‘𝑁) − 1) ∈ ℤ)
42	38, 40, 41	expne0d 14075	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b‘𝑁) − 1)) ≠ 0)
43	6, 37, 42	redivcld 11969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
44	43	flcld 13718	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ)
45		mod2eq1n2dvds 16274	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1))))))
47	34, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑁 / (2↑((#b‘𝑁) − 1)))) mod 2) = 1)
48	12, 47	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#b‘𝑁) − 1)(digit‘2)𝑁) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  +∞cpnf 11163   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  [,)cico 13263  ⌊cfl 13710   mod cmo 13789  ↑cexp 13984   ∥ cdvds 16179   log_b clogb 26730  #_bcblen 48811  digitcdig 48837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-cxp 26522  df-logb 26731  df-blen 48812  df-dig 48838

This theorem is referenced by: (None)