Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dig2nn1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dig2nn1st 46765
Description: The first (relevant) digit of a positive integer in a binary system is 1. (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dig2nn1st (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = 1)

Proof of Theorem dig2nn1st
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . 4 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
3 blennnelnn 46736 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (#bβ€˜π‘) ∈ β„•)
4 nnm1nn0 12461 . . . 4 ((#bβ€˜π‘) ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6 nnre 12167 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7 nnnn0 12427 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
87nn0ge0d 12483 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑁)
9 elrege0 13378 . . . 4 (𝑁 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁))
106, 8, 9sylanbrc 584 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (0[,)+∞))
11 nn0digval 46760 . . 3 ((2 ∈ β„• ∧ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2))
122, 5, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2))
13 n2dvds1 16257 . . . 4 Β¬ 2 βˆ₯ 1
14 blennn 46735 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (#bβ€˜π‘) = ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1))
1514oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) = (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1))
16 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
17 uzid 12785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
19 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
20 relogbzcl 26140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
2221flcld 13710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„€)
2322zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„‚)
24 pncan1 11586 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2615, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))
2726oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) = (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))
2827oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))) = (𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁)))))
2928fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))))
30 fldivexpfllog2 46725 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))) = 1)
3119, 30syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝑁))))) = 1)
3229, 31eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) = 1)
3332breq2d 5122 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ↔ 2 βˆ₯ 1))
3413, 33mtbiri 327 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))))
35 2re 12234 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
3736, 5reexpcld 14075 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
38 2cnd 12238 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
39 2ne0 12264 . . . . . . . 8 2 β‰  0
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
415nn0zd 12532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4238, 40, 41expne0d 14064 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)) β‰  0)
436, 37, 42redivcld 11990 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
4443flcld 13710 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
45 mod2eq1n2dvds 16236 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) ∈ β„€ β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))))))
4644, 45syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1))))))
4734, 46mpbird 257 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) mod 2) = 1)
4812, 47eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((#bβ€˜π‘) βˆ’ 1)(digitβ€˜2)𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  βŒŠcfl 13702   mod cmo 13781  β†‘cexp 13974   βˆ₯ cdvds 16143   logb clogb 26130  #bcblen 46729  digitcdig 46755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131  df-blen 46730  df-dig 46756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator