axsegconlem10 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axsegconlem10		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axsegconlem10 27938

Description: Lemma for axsegcon 27939. Show that the scaling constant from axsegconlem7 27935 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
axsegconlem7.2	⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
axsegconlem8.3	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))

**Assertion**
Ref	Expression
axsegconlem10	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐷,𝑝 𝑁,𝑝 𝐴,𝑖,𝑘 𝐵,𝑖,𝑘 𝐶,𝑖,𝑘 𝐷,𝑖,𝑘 𝑖,𝑁,𝑘 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑖,𝑘 𝑖,𝑝 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑝) 𝑇(𝑝) 𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

**Proof of Theorem axsegconlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem7.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
2	1	axsegconlem4 27932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
4		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveere 27913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11192	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
9		axsegconlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
10	9	axsegconlem4 27932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
11	10	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
13		axsegconlem8.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))
14	9, 1, 13	axsegconlem8 27936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveere 27913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
17	12, 16	remulcld 11194	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11192	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℂ)
19		readdcl 11143	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
20	11, 2, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11192	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
23		0red 11167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ∈ ℝ)
24	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
25	9	axsegconlem6 27934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < (√‘𝑆))
27	1	axsegconlem5 27933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑇))
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ (√‘𝑇))
29		addge01 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
30	11, 2, 29	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
32	23, 24, 20, 26, 31	ltletrd 11324	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
33	32	gt0ne0d 11728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
35	8, 18, 22, 34	divdird 11978	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
36		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
37	36	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
38		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
39	38	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))
40	37, 39	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
41	40	oveq1d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
42		ovex 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
45	44	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
46		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		fveere 27913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
49	21, 48	remulcld 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
50	49, 7	resubcld 11592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
52	12	recnd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
53	25	gt0ne0d 11728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
54	53	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
55	51, 52, 54	divcan2d 11942	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
56	45, 55	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
57	56	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))))
58	49	recnd 11192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
59	8, 58	pncan3d 11524	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
61	7, 17	readdcld 11193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℂ)
63	48	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
64	62, 63, 22, 34	divmul2d 11973	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))))
65	60, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖))
66	2	recnd 11192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
67	66	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
68	6	recnd 11192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
69	67, 68, 22, 34	div23d 11977	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)))
70	22, 52, 22, 34	divsubdird 11979	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
71	11	recnd 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
72		pncan2 11417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℂ) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
73	71, 66, 72	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
74	73	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
75	74	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
76	22, 34	dividd 11938	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = 1)
77	76	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
78	70, 75, 77	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
79	78	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
80	69, 79	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
81	16	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
82	52, 81, 22, 34	div23d 11977	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))
83	80, 82	oveq12d 7380	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
84	35, 65, 83	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
85	84	ralrimiva 3139	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2939 ∀wral 3060 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5193 ‘cfv 6501 (class class class)co 7362 ℂcc 11058 ℝcr 11059 0cc0 11060 1c1 11061 + caddc 11063 · cmul 11065 < clt 11198 ≤ cle 11199 − cmin 11394 / cdiv 11821 2c2 12217 ...cfz 13434 ↑cexp 13977 √csqrt 15130 Σcsu 15582 𝔼cee 27900

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9586 ax-cnex 11116 ax-resscn 11117 ax-1cn 11118 ax-icn 11119 ax-addcl 11120 ax-addrcl 11121 ax-mulcl 11122 ax-mulrcl 11123 ax-mulcom 11124 ax-addass 11125 ax-mulass 11126 ax-distr 11127 ax-i2m1 11128 ax-1ne0 11129 ax-1rid 11130 ax-rnegex 11131 ax-rrecex 11132 ax-cnre 11133 ax-pre-lttri 11134 ax-pre-lttrn 11135 ax-pre-ltadd 11136 ax-pre-mulgt0 11137 ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3448 df-sbc 3743 df-csb 3859 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-er 8655 df-map 8774 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9387 df-oi 9455 df-card 9884 df-pnf 11200 df-mnf 11201 df-xr 11202 df-ltxr 11203 df-le 11204 df-sub 11396 df-neg 11397 df-div 11822 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-n0 12423 df-z 12509 df-uz 12773 df-rp 12925 df-ico 13280 df-fz 13435 df-fzo 13578 df-seq 13917 df-exp 13978 df-hash 14241 df-cj 14996 df-re 14997 df-im 14998 df-sqrt 15132 df-abs 15133 df-clim 15382 df-sum 15583 df-ee 27903

This theorem is referenced by: axsegcon 27939

W3C validator