axsegconlem10 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axsegconlem10		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axsegconlem10 27292

Description: Lemma for axsegcon 27293. Show that the scaling constant from axsegconlem7 27289 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
axsegconlem7.2	⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
axsegconlem8.3	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))

**Assertion**
Ref	Expression
axsegconlem10	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐷,𝑝 𝑁,𝑝 𝐴,𝑖,𝑘 𝐵,𝑖,𝑘 𝐶,𝑖,𝑘 𝐷,𝑖,𝑘 𝑖,𝑁,𝑘 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑖,𝑘 𝑖,𝑝 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑝) 𝑇(𝑝) 𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

**Proof of Theorem axsegconlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem7.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
2	1	axsegconlem4 27286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
4		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveere 27267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11006	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11004	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
9		axsegconlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
10	9	axsegconlem4 27286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
11	10	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
13		axsegconlem8.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))
14	9, 1, 13	axsegconlem8 27290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveere 27267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
17	12, 16	remulcld 11006	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11004	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℂ)
19		readdcl 10955	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
20	11, 2, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11004	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
23		0red 10979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ∈ ℝ)
24	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
25	9	axsegconlem6 27288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < (√‘𝑆))
27	1	axsegconlem5 27287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑇))
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ (√‘𝑇))
29		addge01 11485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
30	11, 2, 29	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
31	28, 30	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
32	23, 24, 20, 26, 31	ltletrd 11135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
33	32	gt0ne0d 11539	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
35	8, 18, 22, 34	divdird 11789	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
36		fveq2 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
37	36	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
38		fveq2 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
39	38	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))
40	37, 39	oveq12d 7289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
41	40	oveq1d 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
42		ovex 7304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
45	44	oveq2d 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
46		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		fveere 27267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
49	21, 48	remulcld 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
50	49, 7	resubcld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
52	12	recnd 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
53	25	gt0ne0d 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
54	53	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
55	51, 52, 54	divcan2d 11753	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
56	45, 55	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
57	56	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))))
58	49	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
59	8, 58	pncan3d 11335	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
60	57, 59	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
61	7, 17	readdcld 11005	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℂ)
63	48	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
64	62, 63, 22, 34	divmul2d 11784	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))))
65	60, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖))
66	2	recnd 11004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
67	66	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
68	6	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
69	67, 68, 22, 34	div23d 11788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)))
70	22, 52, 22, 34	divsubdird 11790	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
71	11	recnd 11004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
72		pncan2 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℂ) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
73	71, 66, 72	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
74	73	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
75	74	oveq1d 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
76	22, 34	dividd 11749	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = 1)
77	76	oveq1d 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
78	70, 75, 77	3eqtr3d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
79	78	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
80	69, 79	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
81	16	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
82	52, 81, 22, 34	div23d 11788	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))
83	80, 82	oveq12d 7289	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
84	35, 65, 83	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
85	84	ralrimiva 3110	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1542 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2945 ∀wral 3066 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5162 ‘cfv 6432 (class class class)co 7271 ℂcc 10870 ℝcr 10871 0cc0 10872 1c1 10873 + caddc 10875 · cmul 10877 < clt 11010 ≤ cle 11011 − cmin 11205 / cdiv 11632 2c2 12028 ...cfz 13238 ↑cexp 13780 √csqrt 14942 Σcsu 15395 𝔼cee 27254

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1975 ax-7 2015 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2711 ax-rep 5214 ax-sep 5227 ax-nul 5234 ax-pow 5292 ax-pr 5356 ax-un 7582 ax-inf2 9377 ax-cnex 10928 ax-resscn 10929 ax-1cn 10930 ax-icn 10931 ax-addcl 10932 ax-addrcl 10933 ax-mulcl 10934 ax-mulrcl 10935 ax-mulcom 10936 ax-addass 10937 ax-mulass 10938 ax-distr 10939 ax-i2m1 10940 ax-1ne0 10941 ax-1rid 10942 ax-rnegex 10943 ax-rrecex 10944 ax-cnre 10945 ax-pre-lttri 10946 ax-pre-lttrn 10947 ax-pre-ltadd 10948 ax-pre-mulgt0 10949 ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2072 df-mo 2542 df-eu 2571 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2818 df-nfc 2891 df-ne 2946 df-nel 3052 df-ral 3071 df-rex 3072 df-reu 3073 df-rmo 3074 df-rab 3075 df-v 3433 df-sbc 3721 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4846 df-int 4886 df-iun 4932 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5163 df-tr 5197 df-id 5490 df-eprel 5496 df-po 5504 df-so 5505 df-fr 5545 df-se 5546 df-we 5547 df-xp 5596 df-rel 5597 df-cnv 5598 df-co 5599 df-dm 5600 df-rn 5601 df-res 5602 df-ima 5603 df-pred 6201 df-ord 6268 df-on 6269 df-lim 6270 df-suc 6271 df-iota 6390 df-fun 6434 df-fn 6435 df-f 6436 df-f1 6437 df-fo 6438 df-f1o 6439 df-fv 6440 df-isom 6441 df-riota 7228 df-ov 7274 df-oprab 7275 df-mpo 7276 df-om 7707 df-1st 7824 df-2nd 7825 df-frecs 8088 df-wrecs 8119 df-recs 8193 df-rdg 8232 df-1o 8288 df-er 8481 df-map 8600 df-en 8717 df-dom 8718 df-sdom 8719 df-fin 8720 df-sup 9179 df-oi 9247 df-card 9698 df-pnf 11012 df-mnf 11013 df-xr 11014 df-ltxr 11015 df-le 11016 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12582 df-rp 12730 df-ico 13084 df-fz 13239 df-fzo 13382 df-seq 13720 df-exp 13781 df-hash 14043 df-cj 14808 df-re 14809 df-im 14810 df-sqrt 14944 df-abs 14945 df-clim 15195 df-sum 15396 df-ee 27257

This theorem is referenced by: axsegcon 27293

W3C validator