axsegconlem10 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axsegconlem10		Structured version Visualization version GIF version

Theorem axsegconlem10 28980

Description: Lemma for axsegcon 28981. Show that the scaling constant from axsegconlem7 28977 produces the betweenness condition for 𝐴, 𝐵 and 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
axsegconlem7.2	⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
axsegconlem8.3	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))

**Assertion**
Ref	Expression
axsegconlem10	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐷,𝑝 𝑁,𝑝 𝐴,𝑖,𝑘 𝐵,𝑖,𝑘 𝐶,𝑖,𝑘 𝐷,𝑖,𝑘 𝑖,𝑁,𝑘 𝑆,𝑖,𝑘 𝑇,𝑖,𝑘 𝑖,𝑝 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑝) 𝑇(𝑝) 𝐹(𝑖,𝑘,𝑝)

**Proof of Theorem axsegconlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem7.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
2	1	axsegconlem4 28974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
4		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		fveere 28955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
9		axsegconlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
10	9	axsegconlem4 28974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
11	10	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
13		axsegconlem8.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))
14	9, 1, 13	axsegconlem8 28978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveere 28955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
17	12, 16	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℂ)
19		readdcl 11111	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
20	11, 2, 19	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℂ)
23		0red 11137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ∈ ℝ)
24	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
25	9	axsegconlem6 28976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < (√‘𝑆))
27	1	axsegconlem5 28975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ (√‘𝑇))
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ (√‘𝑇))
29		addge01 11649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
30	11, 2, 29	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (0 ≤ (√‘𝑇) ↔ (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘𝑆) ≤ ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
32	23, 24, 20, 26, 31	ltletrd 11295	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 < ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))
33	32	gt0ne0d 11703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ≠ 0)
35	8, 18, 22, 34	divdird 11957	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
36		fveq2 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
37	36	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
38		fveq2 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
39	38	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘)) = ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))
40	37, 39	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
41	40	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
42		ovex 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)) ∈ V
43	41, 13, 42	fvmpt 6940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
44	43	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆)))
45	44	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))))
46		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		fveere 28955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
48	46, 47	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
49	21, 48	remulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
50	49, 7	resubcld 11567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) ∈ ℂ)
52	12	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
53	25	gt0ne0d 11703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
54	53	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
55	51, 52, 54	divcan2d 11921	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))) / (√‘𝑆))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
56	45, 55	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖))))
57	56	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))))
58	49	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) ∈ ℂ)
59	8, 58	pncan3d 11497	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
60	57, 59	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖)))
61	7, 17	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) ∈ ℂ)
63	48	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
64	62, 63, 22, 34	divmul2d 11952	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖) ↔ (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) = (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑖))))
65	60, 64	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) + ((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖))) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (𝐵‘𝑖))
66	2	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
67	66	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℂ)
68	6	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
69	67, 68, 22, 34	div23d 11956	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)))
70	22, 52, 22, 34	divsubdird 11958	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
71	11	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℂ)
72		pncan2 11389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑇) ∈ ℂ) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
73	71, 66, 72	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) = (√‘𝑇))
75	74	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) − (√‘𝑆)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))))
76	22, 34	dividd 11917	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = 1)
77	76	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
78	70, 75, 77	3eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))))
79	78	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
80	69, 79	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = ((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)))
81	16	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
82	52, 81, 22, 34	div23d 11956	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) = (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖)))
83	80, 82	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) + (((√‘𝑆) · (𝐹‘𝑖)) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
84	35, 65, 83	3eqtr3d 2778	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))
85	84	ralrimiva 3127	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − ((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)))) · (𝐴‘𝑖)) + (((√‘𝑆) / ((√‘𝑆) + (√‘𝑇))) · (𝐹‘𝑖))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2931 ∀wral 3050 class class class wbr 5097 ↦ cmpt 5178 ‘cfv 6491 (class class class)co 7358 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 + caddc 11031 · cmul 11033 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11366 / cdiv 11796 2c2 12202 ...cfz 13425 ↑cexp 13986 √csqrt 15158 Σcsu 15611 𝔼cee 28941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2183 ax-ext 2707 ax-rep 5223 ax-sep 5240 ax-nul 5250 ax-pow 5309 ax-pr 5376 ax-un 7680 ax-inf2 9552 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2538 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2810 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3399 df-v 3441 df-sbc 3740 df-csb 3849 df-dif 3903 df-un 3905 df-in 3907 df-ss 3917 df-pss 3920 df-nul 4285 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4902 df-iun 4947 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-se 5577 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6258 df-ord 6319 df-on 6320 df-lim 6321 df-suc 6322 df-iota 6447 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-isom 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-er 8635 df-map 8767 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-fin 8889 df-sup 9347 df-oi 9417 df-card 9853 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-3 12211 df-n0 12404 df-z 12491 df-uz 12754 df-rp 12908 df-ico 13269 df-fz 13426 df-fzo 13573 df-seq 13927 df-exp 13987 df-hash 14256 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161 df-clim 15413 df-sum 15612 df-ee 28944

This theorem is referenced by: axsegcon 28981

W3C validator