MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pserdv2 25942
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
pserdv.b 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑗,𝐺,π‘˜,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐡(𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)
Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
2 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
3 pserf.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5 psercn.s . . 3 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
6 psercn.m . . 3 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
7 pserdv.b . . 3 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 25941 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š))))
9 nn0uz 12864 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
10 nnuz 12865 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
11 1e0p1 12719 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1211fveq2i 6895 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
1310, 12eqtri 2761 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
14 id 22 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ π‘˜ = (1 + π‘š))
15 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜(1 + π‘š)))
1614, 15oveq12d 7427 . . . . . 6 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) = ((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))))
17 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = ((1 + π‘š) βˆ’ 1))
1817oveq2d 7425 . . . . . 6 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1)))
1916, 18oveq12d 7427 . . . . 5 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))))
20 1zzd 12593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„€)
21 0zd 12570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
22 nncn 12220 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2322adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
243adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
25 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
26 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2724, 25, 26syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2823, 27mulcld 11234 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
30 absf 15284 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
3130fdmi 6730 . . . . . . . . . . 11 dom abs = β„‚
3229, 31sseqtri 4019 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
335, 32eqsstri 4017 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3534sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
36 nnm1nn0 12513 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
37 expcl 14045 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3835, 36, 37syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3928, 38mulcld 11234 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 15785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))))
41 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
42 nn0cn 12482 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
4342adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
44 addcom 11400 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (1 + π‘š) = (π‘š + 1))
4541, 43, 44sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 + π‘š) = (π‘š + 1))
4645fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜(1 + π‘š)) = (π΄β€˜(π‘š + 1)))
4745, 46oveq12d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) = ((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))))
48 pncan2 11467 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ ((1 + π‘š) βˆ’ 1) = π‘š)
4941, 43, 48sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((1 + π‘š) βˆ’ 1) = π‘š)
5049oveq2d 7425 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1)) = (π‘¦β†‘π‘š))
5147, 50oveq12d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))) = (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)))
5251sumeq2dv 15649 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)))
5340, 52eqtr2d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
5453mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
558, 54eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  ballcbl 20931   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889
This theorem is referenced by:  logtayl  26168  binomcxplemdvsum  43114
  Copyright terms: Public domain W3C validator