MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv2 25805
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
pserf.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
pserf.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
pserdv.b 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘Ž,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑗,𝐺,π‘˜,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦   𝐹,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑗,π‘˜,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐡(𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛,π‘Ž)   𝑀(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
2 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((πΊβ€˜π‘¦)β€˜π‘—))
3 pserf.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
4 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5 psercn.s . . 3 𝑆 = (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅))
6 psercn.m . . 3 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((absβ€˜π‘Ž) + 𝑅) / 2), ((absβ€˜π‘Ž) + 1))
7 pserdv.b . . 3 𝐡 = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))(((absβ€˜π‘Ž) + 𝑀) / 2))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 25804 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š))))
9 nn0uz 12812 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
10 nnuz 12813 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
11 1e0p1 12667 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1211fveq2i 6850 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
1310, 12eqtri 2765 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
14 id 22 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ π‘˜ = (1 + π‘š))
15 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜(1 + π‘š)))
1614, 15oveq12d 7380 . . . . . 6 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) = ((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))))
17 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = ((1 + π‘š) βˆ’ 1))
1817oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1)))
1916, 18oveq12d 7380 . . . . 5 (π‘˜ = (1 + π‘š) β†’ ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))))
20 1zzd 12541 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„€)
21 0zd 12518 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
22 nncn 12168 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2322adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
243adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
25 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
26 ffvelcdm 7037 . . . . . . . 8 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2724, 25, 26syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2823, 27mulcld 11182 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
29 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . 11 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† dom abs
30 absf 15229 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
3130fdmi 6685 . . . . . . . . . . 11 dom abs = β„‚
3229, 31sseqtri 3985 . . . . . . . . . 10 (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) βŠ† β„‚
335, 32eqsstri 3983 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† β„‚
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3534sselda 3949 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
36 nnm1nn0 12461 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
37 expcl 13992 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3835, 36, 37syl2an 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
3928, 38mulcld 11182 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 15731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))))
41 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
42 nn0cn 12430 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
4342adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
44 addcom 11348 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (1 + π‘š) = (π‘š + 1))
4541, 43, 44sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (1 + π‘š) = (π‘š + 1))
4645fveq2d 6851 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜(1 + π‘š)) = (π΄β€˜(π‘š + 1)))
4745, 46oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) = ((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))))
48 pncan2 11415 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ ((1 + π‘š) βˆ’ 1) = π‘š)
4941, 43, 48sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((1 + π‘š) βˆ’ 1) = π‘š)
5049oveq2d 7378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1)) = (π‘¦β†‘π‘š))
5147, 50oveq12d 7380 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))) = (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)))
5251sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((1 + π‘š) Β· (π΄β€˜(1 + π‘š))) Β· (𝑦↑((1 + π‘š) βˆ’ 1))) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)))
5340, 52eqtr2d 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
5453mpteq2dva 5210 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘¦β†‘π‘š))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
558, 54eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ Β· (π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  [,)cico 13273  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  ballcbl 20799   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752
This theorem is referenced by:  logtayl  26031  binomcxplemdvsum  42709
  Copyright terms: Public domain W3C validator