MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv2 25023
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pserf.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
2 pserf.f . . 3 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
3 pserf.a . . 3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4 pserf.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
5 psercn.s . . 3 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
6 psercn.m . . 3 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
7 pserdv.b . . 3 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pserdv 25022 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚))))
9 nn0uz 12268 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
10 nnuz 12269 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
11 1e0p1 12128 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1211fveq2i 6655 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
1310, 12eqtri 2845 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → 𝑘 = (1 + 𝑚))
15 fveq2 6652 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(1 + 𝑚)))
1614, 15oveq12d 7158 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑘 · (𝐴𝑘)) = ((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))))
17 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑘 − 1) = ((1 + 𝑚) − 1))
1817oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 𝑚) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1)))
1916, 18oveq12d 7158 . . . . 5 (𝑘 = (1 + 𝑚) → ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))))
20 1zzd 12001 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℤ)
21 0zd 11981 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
22 nncn 11633 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
2322adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
243adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
25 nnnn0 11892 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 ffvelrn 6831 . . . . . . . 8 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2724, 25, 26syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2823, 27mulcld 10650 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
29 cnvimass 5927 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
30 absf 14688 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
3130fdmi 6505 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
3229, 31sseqtri 3978 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
335, 32eqsstri 3976 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
3534sselda 3942 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
36 nnm1nn0 11926 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
37 expcl 13443 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3835, 36, 37syl2an 598 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3928, 38mulcld 10650 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
409, 13, 19, 20, 21, 39isumshft 15185 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))))
41 ax-1cn 10584 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
42 nn0cn 11895 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
4342adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
44 addcom 10815 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
4541, 43, 44sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
4645fveq2d 6656 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(1 + 𝑚)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
4745, 46oveq12d 7158 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
48 pncan2 10882 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑚) − 1) = 𝑚)
4941, 43, 48sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 + 𝑚) − 1) = 𝑚)
5049oveq2d 7156 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1)) = (𝑦𝑚))
5147, 50oveq12d 7158 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)))
5251sumeq2dv 15051 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((1 + 𝑚) · (𝐴‘(1 + 𝑚))) · (𝑦↑((1 + 𝑚) − 1))) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)))
5340, 52eqtr2d 2858 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚)) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1))))
5453mpteq2dva 5137 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑦𝑚))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
558, 54eqtrd 2857 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑘 · (𝐴𝑘)) · (𝑦↑(𝑘 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  {crab 3134  wss 3908  ifcif 4439  cmpt 5122  ccnv 5531  dom cdm 5532  cima 5535  ccom 5536  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  supcsup 8892  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  *cxr 10663   < clt 10664  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cuz 12231  [,)cico 12728  seqcseq 13364  cexp 13425  abscabs 14584  cli 14832  Σcsu 15033  ballcbl 20076   D cdv 24464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970
This theorem is referenced by:  logtayl  25249  binomcxplemdvsum  40994
  Copyright terms: Public domain W3C validator