Theorem dyadovol 25628

Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadovol	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadovol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadval 25627	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐵) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
3	2	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩))
4		df-ov 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
5	3, 4	eqtr4di 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
6	5	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))))
7		zre 12617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		2nn 12339	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnexpcl 14115	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
11		nndivre 12307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
13		peano2re 11434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
15		nndivre 12307	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
17	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	lep1d 12199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
19	17, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
20	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
21	20	nnred 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
22	20	nngt0d 12315	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐵))
23		lediv1 12133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐵))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
24	17, 19, 21, 22, 23	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
25	18, 24	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))
26		ovolicc 25558	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
27	12, 16, 25, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
28	19	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
29	17	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	21	recnd 11289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℂ)
31	20	nnne0d 12316	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ≠ 0)
32	28, 29, 30, 31	divsubdird 12082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
33		ax-1cn 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		pncan2 11515	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
35	29, 33, 34	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
36	35	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (1 / (2↑𝐵)))
37	32, 36	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))
38	6, 27, 37	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  [,]cicc 13390  ↑cexp 14102  vol*covol 25497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499

This theorem is referenced by:  dyadss  25629