Theorem dyadovol 25582

Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadovol	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadovol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadval 25581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐵) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
3	2	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩))
4		df-ov 7363	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
5	3, 4	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
6	5	fveq2d 6835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))))
7		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		2nn 12249	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnexpcl 14031	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan 697	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
11		nndivre 12213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
13		peano2re 11314	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
15		nndivre 12213	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
17	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	lep1d 12082	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
19	17, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
20	10	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
21	20	nnred 12184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
22	20	nngt0d 12221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐵))
23		lediv1 12016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐵))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
24	17, 19, 21, 22, 23	syl112anc 1383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
25	18, 24	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))
26		ovolicc 25512	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
27	12, 16, 25, 26	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
28	19	recnd 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
29	17	recnd 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	21	recnd 11168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℂ)
31	20	nnne0d 12222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ≠ 0)
32	28, 29, 30, 31	divsubdird 11965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
33		ax-1cn 11091	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		pncan2 11395	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
35	29, 33, 34	sylancl 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
36	35	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (1 / (2↑𝐵)))
37	32, 36	eqtr3d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))
38	6, 27, 37	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  [,]cicc 13296  ↑cexp 14018  vol*covol 25451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cmp 23374  df-ovol 25453

This theorem is referenced by:  dyadss  25583