Theorem dyadovol 25941

Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadovol	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadovol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadval 25940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐵) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
3	2	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩))
4		df-ov 7443	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
5	3, 4	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
6	5	fveq2d 6909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))))
7		zre 12721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		2nn 12440	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnexpcl 14241	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
11		nndivre 12403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
13		peano2re 11507	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
15		nndivre 12403	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
17	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	lep1d 12272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
19	17, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
20	10	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
21	20	nnred 12374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
22	20	nngt0d 12411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐵))
23		lediv1 12206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐵))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
24	17, 19, 21, 22, 23	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
25	18, 24	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))
26		ovolicc 25871	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
27	12, 16, 25, 26	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
28	19	recnd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
29	17	recnd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	21	recnd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℂ)
31	20	nnne0d 12412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ≠ 0)
32	28, 29, 30, 31	divsubdird 12156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
33		ax-1cn 11282	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		pncan2 11588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
35	29, 33, 34	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
36	35	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (1 / (2↑𝐵)))
37	32, 36	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))
38	6, 27, 37	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  [,]cicc 13503  ↑cexp 14228  vol*covol 25810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-rest 17619  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cmp 23732  df-ovol 25812

This theorem is used by:  dyadss  25942