Theorem dyadovol 25552

Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadovol	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadovol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadval 25551	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐵) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
3	2	fveq2d 6837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩))
4		df-ov 7361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
5	3, 4	eqtr4di 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
6	5	fveq2d 6837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))))
7		zre 12494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		2nn 12220	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnexpcl 13999	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
11		nndivre 12188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
13		peano2re 11308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
15		nndivre 12188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
17	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	lep1d 12075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
19	17, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
20	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
21	20	nnred 12162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
22	20	nngt0d 12196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐵))
23		lediv1 12009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐵))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
24	17, 19, 21, 22, 23	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
25	18, 24	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))
26		ovolicc 25482	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
27	12, 16, 25, 26	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
28	19	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
29	17	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	21	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℂ)
31	20	nnne0d 12197	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ≠ 0)
32	28, 29, 30, 31	divsubdird 11958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
33		ax-1cn 11086	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		pncan2 11389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
35	29, 33, 34	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
36	35	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (1 / (2↑𝐵)))
37	32, 36	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))
38	6, 27, 37	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  [,]cicc 13266  ↑cexp 13986  vol*covol 25421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22892  df-cmp 23333  df-ovol 25423

This theorem is referenced by:  dyadss  25553