Theorem dyadovol 24757

Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dyadmbl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)

Assertion

Ref	Expression
dyadovol	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dyadovol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dyadmbl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
2	1	dyadval 24756	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐹𝐵) = ⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
3	2	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩))
4		df-ov 7278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) = ([,]‘⟨(𝐴 / (2↑𝐵)), ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))⟩)
5	3, 4	eqtr4di 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ([,]‘(𝐴𝐹𝐵)) = ((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
6	5	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))))
7		zre 12323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
8		2nn 12046	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		nnexpcl 13795	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
11		nndivre 12014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
13		peano2re 11148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
15		nndivre 12014	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2↑𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 10, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ)
17	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	lep1d 11906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
19	17, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
20	10	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℕ)
21	20	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
22	20	nngt0d 12022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐵))
23		lediv1 11840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐵))) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
24	17, 19, 21, 22, 23	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))))
25	18, 24	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))
26		ovolicc 24687	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / (2↑𝐵)) ≤ ((𝐴 + 1) / (2↑𝐵))) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
27	12, 16, 25, 26	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘((𝐴 / (2↑𝐵))[,]((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)))) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
28	19	recnd 11003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
29	17	recnd 11003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	21	recnd 11003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ∈ ℂ)
31	20	nnne0d 12023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝐵) ≠ 0)
32	28, 29, 30, 31	divsubdird 11790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))))
33		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		pncan2 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
35	29, 33, 34	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
36	35	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) − 𝐴) / (2↑𝐵)) = (1 / (2↑𝐵)))
37	32, 36	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (((𝐴 + 1) / (2↑𝐵)) − (𝐴 / (2↑𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))
38	6, 27, 37	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (vol*‘([,]‘(𝐴𝐹𝐵))) = (1 / (2↑𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  [,]cicc 13082  ↑cexp 13782  vol*covol 24626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-ovol 24628

This theorem is referenced by:  dyadss  24758