Theorem primrootlekpowne0 42138

Description: There is no smaller power of a primitive root that sends it to the neutral element. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootlekpowne0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootlekpowne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootlekpowne0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootlekpowne0.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
primrootlekpowne0	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem primrootlekpowne0

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (𝑁(.g‘𝑅)𝑀))
2	1	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
3		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝐾 ∥ 𝑙 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙) ↔ ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
5		primrootlekpowne0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
6		primrootlekpowne0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		primrootlekpowne0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
10	6, 8, 9	isprimroot 42126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
12	5, 11	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
13	12	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
15		primrootlekpowne0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
16		elfznn 13448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	4, 14, 19	rspcdva 3573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁))
21	20	syldbl2 841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
22	17	nnred 12135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	7	nnred 12135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
24		1red 11108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26		elfzle2 13423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
27	15, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
28	23	ltm1d 12049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) < 𝐾)
29	22, 25, 23, 27, 28	lelttrd 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐾)
30	22, 23	ltnled 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ≤ 𝑁)
32	8	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33		dvdsle 16216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
34	32, 17, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
36	31, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
38	21, 37	pm2.21dd 195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
39		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
40	38, 39	pm2.61dane 3015	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ...cfz 13402   ∥ cdvds 16158  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  ._gcmg 18975  CMndccmn 19687   PrimRoots cprimroots 42124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-dvds 16159  df-primroots 42125

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42139