Theorem primrootlekpowne0 42683

Description: There is no smaller power of a primitive root that sends it to the neutral element. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootlekpowne0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootlekpowne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootlekpowne0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootlekpowne0.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
primrootlekpowne0	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem primrootlekpowne0

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (𝑁(.g‘𝑅)𝑀))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
3		breq2 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝐾 ∥ 𝑙 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
4	2, 3	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙) ↔ ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
5		primrootlekpowne0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
6		primrootlekpowne0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		primrootlekpowne0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
10	6, 8, 9	isprimroot 42671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
11	10	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
12	5, 11	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
13	12	simp3d 1156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
14	13	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
15		primrootlekpowne0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
16		elfznn 13552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	4, 14, 19	rspcdva 3581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁))
21	20	syldbl2 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
22	17	nnred 12219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	7	nnred 12219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
24		1red 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26		elfzle2 13527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
27	15, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
28	23	ltm1d 12118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) < 𝐾)
29	22, 25, 23, 27, 28	lelttrd 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐾)
30	22, 23	ltnled 11324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ≤ 𝑁)
32	8	nn0zd 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33		dvdsle 16335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
34	32, 17, 33	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
36	31, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
37	36	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
38	21, 37	pm2.21dd 197	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
39		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
40	38, 39	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ...cfz 13506   ∥ cdvds 16277  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  ._gcmg 19100  CMndccmn 19811   PrimRoots cprimroots 42669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-dvds 16278  df-primroots 42670

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42684