Theorem primrootlekpowne0 42093

Description: There is no smaller power of a primitive root that sends it to the neutral element. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootlekpowne0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootlekpowne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootlekpowne0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootlekpowne0.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
primrootlekpowne0	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem primrootlekpowne0

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (𝑁(.g‘𝑅)𝑀))
2	1	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
3		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝐾 ∥ 𝑙 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙) ↔ ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
5		primrootlekpowne0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
6		primrootlekpowne0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		primrootlekpowne0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
10	6, 8, 9	isprimroot 42081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
12	5, 11	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
13	12	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
15		primrootlekpowne0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
16		elfznn 13514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	4, 14, 19	rspcdva 3589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁))
21	20	syldbl2 841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
22	17	nnred 12201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	7	nnred 12201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
24		1red 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26		elfzle2 13489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
27	15, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
28	23	ltm1d 12115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) < 𝐾)
29	22, 25, 23, 27, 28	lelttrd 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐾)
30	22, 23	ltnled 11321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ≤ 𝑁)
32	8	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33		dvdsle 16280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
34	32, 17, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
36	31, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
38	21, 37	pm2.21dd 195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
39		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
40	38, 39	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468   ∥ cdvds 16222  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  ._gcmg 18999  CMndccmn 19710   PrimRoots cprimroots 42079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-dvds 16223  df-primroots 42080

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42094