Theorem primrootlekpowne0 43421

Description: There is no smaller power of a primitive root that sends it to the neutral element. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootlekpowne0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootlekpowne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootlekpowne0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootlekpowne0.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
primrootlekpowne0	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem primrootlekpowne0

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (𝑁(.g‘𝑅)𝑀))
2	1	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
3		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝐾 ∥ 𝑙 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙) ↔ ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
5		primrootlekpowne0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
6		primrootlekpowne0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		primrootlekpowne0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
10	6, 8, 9	isprimroot 43409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
11	10	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
12	5, 11	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
13	12	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
15		primrootlekpowne0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
16		elfznn 13727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	4, 14, 19	rspcdva 3581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁))
21	20	syldbl2 855	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
22	17	nnred 12390	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	7	nnred 12390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
24		1red 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26		elfzle2 13701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
27	15, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
28	23	ltm1d 12289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) < 𝐾)
29	22, 25, 23, 27, 28	lelttrd 11507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐾)
30	22, 23	ltnled 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ≤ 𝑁)
32	8	nn0zd 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33		dvdsle 16524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
34	32, 17, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	con3d 153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
36	31, 35	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
38	21, 37	pm2.21dd 198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
39		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
40	38, 39	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679   ∥ cdvds 16466  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  ._gcmg 19327  CMndccmn 20045   PrimRoots cprimroots 43407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-dvds 16467  df-primroots 43408

This theorem is used by:  primrootspoweq0  43422