Theorem primrootlekpowne0 42271

Description: There is no smaller power of a primitive root that sends it to the neutral element. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootlekpowne0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootlekpowne0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootlekpowne0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootlekpowne0.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
primrootlekpowne0	⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem primrootlekpowne0

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (𝑁(.g‘𝑅)𝑀))
2	1	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)))
3		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (𝐾 ∥ 𝑙 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑁 → (((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙) ↔ ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁)))
5		primrootlekpowne0.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
6		primrootlekpowne0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
7		primrootlekpowne0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
10	6, 8, 9	isprimroot 42259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
11	10	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
12	5, 11	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐾(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
13	12	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑙))
15		primrootlekpowne0.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
16		elfznn 13460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	4, 14, 19	rspcdva 3574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅) → 𝐾 ∥ 𝑁))
21	20	syldbl2 841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → 𝐾 ∥ 𝑁)
22	17	nnred 12151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	7	nnred 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
24		1red 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
25	23, 24	resubcld 11556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
26		elfzle2 13435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
27	15, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐾 − 1))
28	23	ltm1d 12065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) < 𝐾)
29	22, 25, 23, 27, 28	lelttrd 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝐾)
30	22, 23	ltnled 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ≤ 𝑁)
32	8	nn0zd 12504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
33		dvdsle 16228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
34	32, 17, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁))
35	34	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
36	31, 35	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
38	21, 37	pm2.21dd 195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) = (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
39		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))
40	38, 39	pm2.61dane 3016	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘𝑅)𝑀) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1c1 11018   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ...cfz 13414   ∥ cdvds 16170  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  ._gcmg 18988  CMndccmn 19700   PrimRoots cprimroots 42257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-dvds 16171  df-primroots 42258

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42272