Theorem remexz 42871

Description: Division with rest. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remexz.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
remexz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
remexz	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem remexz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remexz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		remexz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13923	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
5	2	nnzd 12612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		fzoval 13684	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
8	4, 7	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴))
10	9	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
11	10	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
12	11	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
13		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴))
14	2	nnrpd 13053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		modmuladdim 13946	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
16	1, 14, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
17	13, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
18	8, 12, 17	rspcedvd 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
19		rexcom 3294	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
20	18, 19	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42873  aks6d1c6lem5  42944