Theorem remexz 42065

Description: Division with rest. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remexz.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
remexz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
remexz	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem remexz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remexz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		remexz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
5	2	nnzd 12532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		fzoval 13597	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
8	4, 7	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴))
10	9	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
11	10	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
12	11	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
13		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴))
14	2	nnrpd 12969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		modmuladdim 13855	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
18	8, 12, 17	rspcedvd 3587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
19		rexcom 3264	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
20	18, 19	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℝ⁺crp 12927  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591   mod cmo 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42067  aks6d1c6lem5  42138