Theorem remexz 42105

Description: Division with rest. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remexz.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
remexz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
remexz	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem remexz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remexz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		remexz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13934	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
5	2	nnzd 12640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		fzoval 13700	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
8	4, 7	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴))
10	9	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
11	10	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
12	11	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
13		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴))
14	2	nnrpd 13075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		modmuladdim 13955	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
18	8, 12, 17	rspcedvd 3624	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
19		rexcom 3290	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
20	18, 19	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42107  aks6d1c6lem5  42178