Theorem remexz 42077

Description: Division with rest. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remexz.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
remexz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
remexz	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem remexz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remexz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		remexz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
5	2	nnzd 12498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		fzoval 13563	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
8	4, 7	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴))
10	9	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
11	10	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
12	11	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
13		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴))
14	2	nnrpd 12935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		modmuladdim 13821	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
16	1, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
17	13, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
18	8, 12, 17	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
19		rexcom 3258	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
20	18, 19	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557   mod cmo 13773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774

This theorem is referenced by:  primrootspoweq0  42079  aks6d1c6lem5  42150