Theorem remexz 42971

Description: Division with rest. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
remexz.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
remexz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
remexz	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem remexz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remexz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		remexz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 13956	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0..^𝐴))
5	2	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
6		fzoval 13716	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐴) = (0...(𝐴 − 1)))
8	4, 7	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴))
10	9	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
11	10	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
12	11	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = (𝑁 mod 𝐴)) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
13		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴))
14	2	nnrpd 13085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		modmuladdim 13979	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
16	1, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 mod 𝐴) = (𝑁 mod 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴))))
17	13, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + (𝑁 mod 𝐴)))
18	8, 12, 17	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
19		rexcom 3291	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))∃𝑥 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))
20	18, 19	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐴) + 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  ℕcn 12258  ℤcz 12616  ℝ⁺crp 13043  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710   mod cmo 13931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932

This theorem is used by:  primrootspoweq0  42973  aks6d1c6lem5  43044