Theorem primrootspoweq0 42145

Description: The power of a 𝑅-th primitive root is zero if and only if it divides 𝑅. (Contributed by metakunt, 15-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootspoweq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootspoweq0.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootspoweq0.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
primrootspoweq0.4	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
primrootspoweq0.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
primrootspoweq0	⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑅,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)   𝑀(𝑖,𝑎)   𝑁(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootspoweq0

Dummy variables 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
2	1	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
3		primrootspoweq0.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootspoweq0.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootspoweq0.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
6	3, 4, 5	primrootsunit 42137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))
7	6	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel)
8	7	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel)
9	8	ablgrpd 19699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	4	nnzd 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
12	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ)
14		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
15	14	elfzelzd 13425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
16		primrootspoweq0.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
17	6	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
18	16, 17	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
19		ablcmn 19700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ CMnd)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ CMnd)
21	4	nnnn0d 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
23	20, 21, 22	isprimroot 42132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
24	23	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙))))
25	18, 24	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑙)))
26	25	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
27	26	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
28	13, 15, 27	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
29		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))
30		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
31	29, 22, 30	mulgdir 19019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ ((𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → (((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
32	9, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
33	10, 12, 27	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
34	29, 22	mulgass 19024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
36	25	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
37	36	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
38	37	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))
40	29, 22, 39	mulgz 19015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
41	9, 10, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
42	38, 41	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑥(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
43	35, 42	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
44	43	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
45	29, 22, 9, 15, 27	mulgcld 19009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
46	29, 30, 39, 9, 45	grplidd 18882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
47	44, 46	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (((𝑥 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)(+g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
48	32, 47	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
49	2, 48	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
50	8, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ CMnd)
51	4	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
52	16	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
53	17	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
54	52, 53	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾))
55		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56	55	addlidd 11314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
57	4	nnge1d 12173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
58	56, 57	eqbrtrd 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝐾)
59		0red 11115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
60		1red 11113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	4	nnred 12140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
62		leaddsub 11593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 − 1)))
63	59, 60, 61, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 − 1)))
64	58, 63	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 − 1))
65		0zd 12480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
66		1zzd 12503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
67	11, 66	zsubcld 12582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
68		eluz 12746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 0 ≤ (𝐾 − 1)))
69	65, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) ↔ 0 ≤ (𝐾 − 1)))
70	64, 69	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
71		elfzp12 13503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1)))))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1)))))
73	72	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1)))))
74	73	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1)))))
75	14, 74	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1))))
76		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℤ)
77	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∈ ℕ)
78	77	nnzd 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
79		dvdsmul2 16189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑥 · 𝐾))
80	76, 78, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∥ (𝑥 · 𝐾))
81	76	zcnd 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
82	77	nncnd 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∈ ℂ)
83	81, 82	mulcld 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
84	83	addridd 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 · 𝐾) + 0) = (𝑥 · 𝐾))
85	84	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + 0))
86		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
87	86	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 0 = 𝑦)
88	87	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 · 𝐾) + 0) = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
89	85, 88	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
90	80, 89	breqtrd 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∥ ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
91	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
92	91	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦) = 𝑁)
93	90, 92	breqtrd 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝐾 ∥ 𝑁)
94		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
95	93, 94	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
96	95	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (1...(𝐾 − 1))))
97		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
98	97	addlidd 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (0 + 1) = 1)
99	98	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((0 + 1)...(𝐾 − 1)) = (1...(𝐾 − 1)))
100		ssidd 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (1...(𝐾 − 1)) ⊆ (1...(𝐾 − 1)))
101	99, 100	eqsstrd 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((0 + 1)...(𝐾 − 1)) ⊆ (1...(𝐾 − 1)))
102	101	sseld 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1)) → 𝑦 ∈ (1...(𝐾 − 1))))
103	96, 102	jaod 859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ((𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ ((0 + 1)...(𝐾 − 1))) → 𝑦 ∈ (1...(𝐾 − 1))))
104	75, 103	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝑦 ∈ (1...(𝐾 − 1)))
105	50, 51, 54, 104	primrootlekpowne0 42144	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
106	49, 105	eqnetrd 2995	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
107	106	neneqd 2933	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁) → ¬ (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
108	107	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) → (¬ 𝐾 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
109	108	con4d 115	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) → ((𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) → 𝐾 ∥ 𝑁))
110		simp-4l 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝜑)
111		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁)
112	110, 111	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝜑 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁))
113		primrootspoweq0.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
114		divides 16165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁))
115	11, 113, 114	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁))
116	115	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁))
117	116	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁)
118		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)
119	118	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → 𝑁 = (𝑦 · 𝐾))
120	119	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = ((𝑦 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀))
121	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel)
122		ablgrp 19698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
124		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
125	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
126	26	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
127	124, 125, 126	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
128	29, 22	mulgass 19024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝑈)))) → ((𝑦 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
129	123, 127, 128	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑦 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)))
130	36	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
131	130	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
132	29, 22, 39	mulgz 19015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
133	123, 124, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
134	131, 133	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑦(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))(𝐾(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
135	129, 134	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝑦 · 𝐾)(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
136	120, 135	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
137		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 · 𝐾) = 𝑁
138		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 · 𝐾) = 𝑁
139		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐾) = (𝑦 · 𝐾))
140	139	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝐾) = 𝑁 ↔ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁))
141	137, 138, 140	cbvrexw 3275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)
142	141	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)
143	142	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)
144	136, 143	r19.29a 3140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
145	144	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁 → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
146	145	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐾) = 𝑁 → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
147	117, 146	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
148	112, 147	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)))
149	148	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → (𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈))))
150	109, 149	impbid 212	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦)) → ((𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
151	113, 4	remexz 42143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑁 = ((𝑥 · 𝐾) + 𝑦))
152	150, 151	r19.29vva 3192	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁(.g‘(𝑅 ↾s 𝑈))𝑀) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝑈)) ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407   ∥ cdvds 16163  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  ._gcmg 18980  CMndccmn 19693  Abelcabl 19694   PrimRoots cprimroots 42130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-dvds 16164  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-primroots 42131

This theorem is referenced by:  aks6d1c6isolem3  42215