Theorem slotsbhcdif 17367

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17177	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12445	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12442	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12772	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12671	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17363	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3003	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3000	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12446	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12671	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17365	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3003	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3000	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12648	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12437	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12342	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12661	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3003	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3000	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1341	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  1c1 11028  4c4 12227  5c5 12228  ;cdc 12633  ndxcnx 17152  Basecbs 17168  Hom chom 17220  compcco 17221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-hom 17233  df-cco 17234

This theorem is referenced by:  resshom  17370  ressco  17371  oppchomfval  17669  oppcbas  17673  rescbas  17785  rescco  17788  rescabs  17789  estrreslem1  18092  estrres  18094  prstcbas  50017  prstchomval  50022