Theorem slotsbhcdif 17044

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 16849	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 11914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12505	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12404	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11018	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17040	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3016	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3013	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12183	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12404	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11018	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17042	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3016	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3013	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12174	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 11989	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12080	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12394	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11018	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3016	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3013	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1337	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1085   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  1c1 10803  4c4 11960  5c5 11961  ;cdc 12366  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  Hom chom 16899  compcco 16900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913

This theorem is referenced by:  resshom  17046  ressco  17047  oppchomfval  17340  oppcbas  17345  rescbas  17458  rescco  17462  estrreslem1  17769  estrreslem1OLD  17770  estrres  17772  prstcbas  46236  prstchomval  46241