Theorem slotsbhcdif 17587

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17397	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11309	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12623	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12960	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12858	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11424	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17583	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3029	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3026	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12858	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11424	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17585	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3029	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3026	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12830	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12618	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12430	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12523	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12848	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11424	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3029	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3026	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2956  ‘cfv 6539  1c1 11202  4c4 12400  5c5 12401  ;cdc 12815  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  Hom chom 17440  compcco 17441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-hom 17453  df-cco 17454

This theorem is used by:  resshom  17590  ressco  17591  oppchomfval  17889  oppcbas  17893  rescbas  18005  rescco  18008  rescabs  18009  estrreslem1  18312  estrres  18314  prstcbas  50663  prstchomval  50668