Theorem slotsbhcdif 17373

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17183	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11139	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12180	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12451	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12778	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12677	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11254	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17369	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3009	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3006	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12677	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11254	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17371	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3009	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3006	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12654	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12443	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12262	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12348	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12667	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11254	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3009	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3006	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1347	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1093   ≠ wne 2936  ‘cfv 6489  1c1 11034  4c4 12233  5c5 12234  ;cdc 12639  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  Hom chom 17226  compcco 17227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-hom 17239  df-cco 17240

This theorem is referenced by:  resshom  17376  ressco  17377  oppchomfval  17675  oppcbas  17679  rescbas  17791  rescco  17794  rescabs  17795  estrreslem1  18098  estrres  18100  prstcbas  50058  prstchomval  50063