Theorem slotsbhcdif 16543

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 16339	. . . 4 ⊢ Base = Slot 1
2		1nn 11446	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxarg 16358	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1re 10433	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		4nn0 11722	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		1nn0 11719	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12046	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
8	2, 5, 6, 7	declti 11944	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
9	4, 8	ltneii 10547	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
10		homndx 16537	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeqtrri 3034	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
12	3, 11	eqnetri 3031	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13		5nn0 11723	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	2, 13, 6, 7	declti 11944	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
15	4, 14	ltneii 10547	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
16		ccondx 16539	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
17	15, 16	neeqtrri 3034	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
18	3, 17	eqnetri 3031	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
19	6, 5	deccl 11920	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
20	19	nn0rei 11713	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
21		5nn 11522	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
22		4lt5 11618	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
23	6, 5, 21, 22	declt 11934	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
24	20, 23	ltneii 10547	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
25	24, 16	neeqtrri 3034	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
26	10, 25	eqnetri 3031	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
27	12, 18, 26	3pm3.2i 1319	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1068   ≠ wne 2961  ‘cfv 6182  1c1 10330  4c4 11491  5c5 11492  ;cdc 11905  ndxcnx 16330  Basecbs 16333  Hom chom 16426  compcco 16427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-hom 16439  df-cco 16440

This theorem is referenced by:  estrreslem1  17239  estrres  17241