Theorem slotsbhcdif 17471

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17281	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12247	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12859	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12757	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17467	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3038	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3035	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12527	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12757	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17469	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3038	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3035	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12729	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12518	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12330	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12423	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12747	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11326	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3038	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3035	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1356	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1101   ≠ wne 2965  ‘cfv 6540  1c1 11104  4c4 12300  5c5 12301  ;cdc 12714  ndxcnx 17256  Basecbs 17272  Hom chom 17324  compcco 17325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-hom 17337  df-cco 17338

This theorem is referenced by:  resshom  17474  ressco  17475  oppchomfval  17773  oppcbas  17777  rescbas  17889  rescco  17892  rescabs  17893  estrreslem1  18196  estrres  18198  prstcbas  50281  prstchomval  50286