Theorem slotsbhcdif 17337

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17147	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11134	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12158	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12748	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12647	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17333	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3004	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3001	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12423	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12647	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17335	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3004	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3001	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12624	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12414	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12233	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12319	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12637	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11248	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3004	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3001	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1341	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2931  ‘cfv 6491  1c1 11029  4c4 12204  5c5 12205  ;cdc 12609  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  Hom chom 17190  compcco 17191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204

This theorem is referenced by:  resshom  17340  ressco  17341  oppchomfval  17639  oppcbas  17643  rescbas  17755  rescco  17758  rescabs  17759  estrreslem1  18062  estrres  18064  prstcbas  49836  prstchomval  49841