Theorem slotsbhcdif 17434

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17242	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11240	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12525	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12852	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12751	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11353	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17430	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12751	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11353	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17432	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12728	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12517	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12331	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12422	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12741	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11353	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2933  ‘cfv 6536  1c1 11135  4c4 12302  5c5 12303  ;cdc 12713  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  Hom chom 17287  compcco 17288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-hom 17300  df-cco 17301

This theorem is referenced by:  resshom  17437  ressco  17438  oppchomfval  17731  oppcbas  17735  rescbas  17847  rescco  17850  rescabs  17851  estrreslem1  18154  estrres  18156  prstcbas  49398  prstchomval  49403