Theorem slotsbhcdif 17339

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17149	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11136	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12160	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12424	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12421	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12750	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12649	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17335	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12425	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12649	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17337	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12626	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12416	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12235	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12321	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12639	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11250	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3006	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3003	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1341	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  1c1 11031  4c4 12206  5c5 12207  ;cdc 12611  ndxcnx 17124  Basecbs 17140  Hom chom 17192  compcco 17193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-hom 17205  df-cco 17206

This theorem is referenced by:  resshom  17342  ressco  17343  oppchomfval  17641  oppcbas  17645  rescbas  17757  rescco  17760  rescabs  17761  estrreslem1  18064  estrres  18066  prstcbas  49866  prstchomval  49871