MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsbhcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotsbhcdif 17424
Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsbhcdif ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif
StepHypRef Expression
1 basendx 17217 . . 3 (Base‘ndx) = 1
2 1re 11255 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 1nn 12269 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4 4nn0 12537 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
5 1nn0 12534 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 12862 . . . . . 6 1 < 10
73, 4, 5, 6declti 12761 . . . . 5 1 < 14
82, 7ltneii 11368 . . . 4 1 ≠ 14
9 homndx 17420 . . . 4 (Hom ‘ndx) = 14
108, 9neeqtrri 3004 . . 3 1 ≠ (Hom ‘ndx)
111, 10eqnetri 3001 . 2 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12 5nn0 12538 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
133, 12, 5, 6declti 12761 . . . . 5 1 < 15
142, 13ltneii 11368 . . . 4 1 ≠ 15
15 ccondx 17422 . . . 4 (comp‘ndx) = 15
1614, 15neeqtrri 3004 . . 3 1 ≠ (comp‘ndx)
171, 16eqnetri 3001 . 2 (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
185, 4deccl 12738 . . . . . 6 14 ∈ ℕ0
1918nn0rei 12529 . . . . 5 14 ∈ ℝ
20 5nn 12344 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
21 4lt5 12435 . . . . . 6 4 < 5
225, 4, 20, 21declt 12751 . . . . 5 14 < 15
2319, 22ltneii 11368 . . . 4 14 ≠ 15
2423, 15neeqtrri 3004 . . 3 14 ≠ (comp‘ndx)
259, 24eqnetri 3001 . 2 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
2611, 17, 253pm3.2i 1336 1 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1084  wne 2930  cfv 6546  1c1 11150  4c4 12315  5c5 12316  cdc 12723  ndxcnx 17190  Basecbs 17208  Hom chom 17272  compcco 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-hom 17285  df-cco 17286
This theorem is referenced by:  resshom  17428  ressco  17429  oppchomfval  17722  oppcbas  17727  rescbas  17840  rescco  17844  rescabs  17846  estrreslem1  18155  estrreslem1OLD  18156  estrres  18158  prstcbas  48424  prstchomval  48431
  Copyright terms: Public domain W3C validator