Theorem slotsbhcdif 17199

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 16995	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11054	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12063	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12331	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12328	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12655	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12554	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11167	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17195	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 3014	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3011	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12332	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12554	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11167	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17197	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 3014	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 3011	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12531	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12323	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12138	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12229	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12544	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11167	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 3014	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 3011	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1338	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2940  ‘cfv 6465  1c1 10951  4c4 12109  5c5 12110  ;cdc 12516  ndxcnx 16968  Basecbs 16986  Hom chom 17047  compcco 17048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-hom 17060  df-cco 17061

This theorem is referenced by:  resshom  17203  ressco  17204  oppchomfval  17497  oppcbas  17502  rescbas  17615  rescco  17619  rescabs  17621  estrreslem1  17927  estrreslem1OLD  17928  estrres  17930  prstcbas  46618  prstchomval  46625