Theorem slotsbhcdif 17385

Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsbhcdif	⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendx 17195	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
2		1re 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12795	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12694	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		homndx 17381	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10	8, 9	neeqtrri 2999	. . 3 ⊢ 1 ≠ (Hom ‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2996	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
12		5nn0 12469	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
13	3, 12, 5, 6	declti 12694	. . . . 5 ⊢ 1 < ;15
14	2, 13	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;15
15		ccondx 17383	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
16	14, 15	neeqtrri 2999	. . 3 ⊢ 1 ≠ (comp‘ndx)
17	1, 16	eqnetri 2996	. 2 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
18	5, 4	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
19	18	nn0rei 12460	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
20		5nn 12279	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
21		4lt5 12365	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
22	5, 4, 20, 21	declt 12684	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
23	19, 22	ltneii 11294	. . . 4 ⊢ ;14 ≠ ;15
24	23, 15	neeqtrri 2999	. . 3 ⊢ ;14 ≠ (comp‘ndx)
25	9, 24	eqnetri 2996	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
26	11, 17, 25	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  1c1 11076  4c4 12250  5c5 12251  ;cdc 12656  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  Hom chom 17238  compcco 17239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252

This theorem is referenced by:  resshom  17388  ressco  17389  oppchomfval  17682  oppcbas  17686  rescbas  17798  rescco  17801  rescabs  17802  estrreslem1  18105  estrres  18107  prstcbas  49547  prstchomval  49552