Theorem psrbagev2OLD 20854

Description: Obsolete version of psrbagev2 20853 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev2OLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev2OLD	⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem psrbagev2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
2		eqid 2758	. 2 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
3		psrbagev2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
4		psrbagev2OLD.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		psrbagev2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrbagev2.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑇)
7		psrbagev2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		psrbagev2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
9	5, 1, 6, 2, 3, 7, 8, 4	psrbagev1OLD 20852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇)))
10	9	simpld 498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
11	9	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	gsumcl 19116	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   class class class wbr 5036  ^◡ccnv 5527   “ cima 5531  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7409   ↑_m cmap 8422  Fincfn 8540   finSupp cfsupp 8879  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  Basecbs 16554  0_gc0g 16784   Σ_g cgsu 16785  ._gcmg 18304  CMndccmn 18986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988

This theorem is referenced by: (None)