Theorem psrbagev2OLD 22002

Description: Obsolete version of psrbagev2 22001 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
psrbagev2OLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev2OLD	⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)   𝑊(ℎ)

Proof of Theorem psrbagev2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
2		eqid 2727	. 2 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
3		psrbagev2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
4		psrbagev2OLD.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		psrbagev2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrbagev2.x	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑇)
7		psrbagev2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		psrbagev2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
9	5, 1, 6, 2, 3, 7, 8, 4	psrbagev1OLD 22000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇)))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
11	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	gsumcl 19854	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7675   ↑_m cmap 8834  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12488  Basecbs 17165  0_gc0g 17406   Σ_g cgsu 17407  ._gcmg 19007  CMndccmn 19719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721

This theorem is referenced by: (None)