MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev2 20891
Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev2.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x · = (.g𝑇)
psrbagev2.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev2.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
psrbagev2 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵f · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()

Proof of Theorem psrbagev2
StepHypRef Expression
1 psrbagev2.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑇)
2 eqid 2738 . 2 (0g𝑇) = (0g𝑇)
3 psrbagev2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4 ovexd 7205 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
5 psrbagev2.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrbagev2.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
7 psrbagev2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
8 psrbagev2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
95, 1, 6, 2, 3, 7, 8psrbagev1 20889 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp (0g𝑇)))
109simpld 498 . . . 4 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
1110ffnd 6505 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) Fn 𝐼)
124, 11fndmexd 7637 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
139simprd 499 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp (0g𝑇))
141, 2, 3, 12, 10, 13gsumcl 19154 1 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵f · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3057  Vcvv 3398   class class class wbr 5030  ccnv 5524  cima 5528  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  f cof 7423  m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906  cn 11716  0cn0 11976  Basecbs 16586  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  .gcmg 18342  CMndccmn 19024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026
This theorem is referenced by:  evlslem6  20895  evlslem1  20896  evlsbagval  39854
  Copyright terms: Public domain W3C validator