Theorem psrbagev2 22186

Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev2	⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)

Proof of Theorem psrbagev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
3		psrbagev2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
4		ovexd 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
5		psrbagev2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrbagev2.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
7		psrbagev2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		psrbagev2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
9	5, 1, 6, 2, 3, 7, 8	psrbagev1 22185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇)))
10	9	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
11	10	ffnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼)
12	4, 11	fndmexd 7889	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	9	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
14	1, 2, 3, 12, 10, 13	gsumcl 19973	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   class class class wbr 5104  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  ._gcmg 19121  CMndccmn 19838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840

This theorem is referenced by:  evlslem6  22189  evlslem1  22190