MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev2 19907
Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev1.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev1.x · = (.g𝑇)
psrbagev1.z 0 = (0g𝑇)
psrbagev1.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev1.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
psrbagev1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
psrbagev2 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵𝑓 · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()   0 ()

Proof of Theorem psrbagev2
StepHypRef Expression
1 psrbagev1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑇)
2 psrbagev1.z . 2 0 = (0g𝑇)
3 psrbagev1.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4 psrbagev1.i . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
5 psrbagev1.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrbagev1.x . . . 4 · = (.g𝑇)
7 psrbagev1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
8 psrbagev1.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
95, 1, 6, 2, 3, 7, 8, 4psrbagev1 19906 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 ))
109simpld 490 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺):𝐼𝐶)
119simprd 491 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑓 · 𝐺) finSupp 0 )
121, 2, 3, 4, 10, 11gsumcl 18702 1 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵𝑓 · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  {crab 3093  Vcvv 3397   class class class wbr 4886  ccnv 5354  cima 5358  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑓 cof 7172  𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  cn 11374  0cn0 11642  Basecbs 16255  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  .gcmg 17927  CMndccmn 18579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581
This theorem is referenced by:  evlslem6  19909  evlslem1  19911
  Copyright terms: Public domain W3C validator