MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagev2 22103
Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbagev2.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x · = (.g𝑇)
psrbagev2.t (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b (𝜑𝐵𝐷)
psrbagev2.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
psrbagev2 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵f · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐵,   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐶()   𝐷()   𝑇()   · ()   𝐺()

Proof of Theorem psrbagev2
StepHypRef Expression
1 psrbagev2.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑇)
2 eqid 2736 . 2 (0g𝑇) = (0g𝑇)
3 psrbagev2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
4 ovexd 7467 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) ∈ V)
5 psrbagev2.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrbagev2.x . . . . . 6 · = (.g𝑇)
7 psrbagev2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
8 psrbagev2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
95, 1, 6, 2, 3, 7, 8psrbagev1 22102 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝐵f · 𝐺) finSupp (0g𝑇)))
109simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺):𝐼𝐶)
1110ffnd 6736 . . 3 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) Fn 𝐼)
124, 11fndmexd 7927 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
139simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝐵f · 𝐺) finSupp (0g𝑇))
141, 2, 3, 12, 10, 13gsumcl 19934 1 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵f · 𝐺)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  ccnv 5683  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  cn 12267  0cn0 12528  Basecbs 17248  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  .gcmg 19086  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by:  evlslem6  22106  evlslem1  22107
  Copyright terms: Public domain W3C validator