Theorem psrbagev2 22006

Description: Closure of a sum using a bag of multipliers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.) Remove a sethood hypothesis. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagev2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagev2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
psrbagev2.x	⊢ · = (.g‘𝑇)
psrbagev2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
psrbagev2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
psrbagev2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
psrbagev2	⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐺(ℎ)

Proof of Theorem psrbagev2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagev2.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
3		psrbagev2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
4		ovexd 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) ∈ V)
5		psrbagev2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrbagev2.x	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝑇)
7		psrbagev2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		psrbagev2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
9	5, 1, 6, 2, 3, 7, 8	psrbagev1 22005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇)))
10	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺):𝐼⟶𝐶)
11	10	ffnd 6648	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) Fn 𝐼)
12	4, 11	fndmexd 7829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∘f · 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
14	1, 2, 3, 12, 10, 13	gsumcl 19820	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝐵 ∘f · 𝐺)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  Basecbs 17112  0_gc0g 17335   Σ_g cgsu 17336  ._gcmg 18972  CMndccmn 19685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mulg 18973  df-cntz 19222  df-cmn 19687

This theorem is referenced by:  evlslem6  22009  evlslem1  22010