Theorem primrootscoprbij2 42269

Description: A bijection between coprime powers of primitive roots and primitive roots. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprbij2.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprbij2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprbij2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.5	⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprbij2	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprbij2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprbij2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
2		primrootscoprbij2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
3	2	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprbij2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		primrootscoprbij2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ ℕ)
8		simpllr 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℕ)
9		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		primrootscoprbij2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
11	10	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
13	11, 12	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)} = {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)}
15	1, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14	primrootscoprbij 42268	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))
16	6, 4	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ))
17		posbezout 42266	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
19	15, 18	r19.29vva 3193	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  {crab 3396   ↦ cmpt 5176  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℕcn 12136  ℤcz 12479   gcd cgcd 16412  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  0_gc0g 17350  ._gcmg 18988  CMndccmn 19700   PrimRoots cprimroots 42257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-gcd 16413  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-primroots 42258

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p5  42278