Theorem primrootscoprbij2 42870

Description: A bijection between coprime powers of primitive roots and primitive roots. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprbij2.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprbij2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprbij2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.5	⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprbij2	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprbij2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprbij2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
2		primrootscoprbij2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
3	2	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprbij2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		primrootscoprbij2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ ℕ)
8		simpllr 787	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℕ)
9		simplr 780	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		primrootscoprbij2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
11	10	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
13	11, 12	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)} = {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)}
15	1, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14	primrootscoprbij 42869	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))
16	6, 4	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ))
17		posbezout 42867	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
19	15, 18	r19.29vva 3225	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416   ↦ cmpt 5192  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℕcn 12228  ℤcz 12586   gcd cgcd 16547  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  ._gcmg 19128  CMndccmn 19845   PrimRoots cprimroots 42858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-primroots 42859

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p5  42879