Theorem primrootscoprbij2 42755

Description: A bijection between coprime powers of primitive roots and primitive roots. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprbij2.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprbij2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprbij2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.5	⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprbij2	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprbij2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprbij2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
2		primrootscoprbij2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
3	2	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprbij2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		primrootscoprbij2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ ℕ)
8		simpllr 787	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℕ)
9		simplr 780	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		primrootscoprbij2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
11	10	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
13	11, 12	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
14		eqid 2769	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)} = {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)}
15	1, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14	primrootscoprbij 42754	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))
16	6, 4	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ))
17		posbezout 42752	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
19	15, 18	r19.29vva 3231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423   ↦ cmpt 5193  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  ℕcn 12229  ℤcz 12587   gcd cgcd 16548  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488  ._gcmg 19129  CMndccmn 19846   PrimRoots cprimroots 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-primroots 42744

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p5  42764