Theorem primrootscoprbij2 42086

Description: A bijection between coprime powers of primitive roots and primitive roots. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprbij2.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprbij2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprbij2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.5	⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprbij2	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprbij2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprbij2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
2		primrootscoprbij2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
3	2	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprbij2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		primrootscoprbij2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ ℕ)
8		simpllr 775	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℕ)
9		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		primrootscoprbij2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
11	10	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
13	11, 12	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)} = {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)}
15	1, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14	primrootscoprbij 42085	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))
16	6, 4	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ))
17		posbezout 42083	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
19	15, 18	r19.29vva 3198	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  {crab 3408   ↦ cmpt 5190  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079  ℕcn 12187  ℤcz 12535   gcd cgcd 16470  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  0_gc0g 17408  ._gcmg 19005  CMndccmn 19716   PrimRoots cprimroots 42074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-gcd 16471  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-mulg 19006  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-primroots 42075

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p5  42095