Theorem primrootscoprbij2 42544

Description: A bijection between coprime powers of primitive roots and primitive roots. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprbij2.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprbij2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprbij2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
primrootscoprbij2.5	⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprbij2	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprbij2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprbij2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐼(.g‘𝑅)𝑚))
2		primrootscoprbij2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
3	2	ad3antrrr 731	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ CMnd)
4		primrootscoprbij2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	ad3antrrr 731	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		primrootscoprbij2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	ad3antrrr 731	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ ℕ)
8		simpllr 776	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℕ)
9		simplr 769	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
10		primrootscoprbij2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
11	10	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = 1)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
13	11, 12	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 1 = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)} = {𝑤 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(+g‘𝑅)𝑤) = (0g‘𝑅)}
15	1, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14	primrootscoprbij 42543	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦))) → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))
16	6, 4	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ))
17		posbezout 42541	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐼 gcd 𝐾) = ((𝐼 · 𝑥) + (𝐾 · 𝑦)))
19	15, 18	r19.29vva 3198	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)–1-1-onto→(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390   ↦ cmpt 5167  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045  ℕcn 12176  ℤcz 12526   gcd cgcd 16465  Basecbs 17181  +_gcplusg 17222  0_gc0g 17404  ._gcmg 19045  CMndccmn 19757   PrimRoots cprimroots 42532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-rp 12945  df-fz 13464  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13966  df-exp 14026  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-dvds 16224  df-gcd 16466  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-0g 17406  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-grp 18914  df-minusg 18915  df-mulg 19046  df-cmn 19759  df-abl 19760  df-primroots 42533

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p5  42553