Theorem xrge0cmn 21426

Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0cmn	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1cmn 21424	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
3	1	xrge0subm 21425	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
4		xrex 13029	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
5	4	difexi 5330	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
6		difss 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
7		xrsbas 21396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	1, 7	ressbas2 17283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
10	9	submss 18822	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12		ressabs 17294	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
13	5, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14	13	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
15	14	submmnd 18826	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
16	3, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
17	14	subcmn 19855	. 2 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18	2, 16, 17	mp2an 692	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294  [,]cicc 13390  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  xrge00  33017  xrge0tsmsd  33065  xrge0omnd  33088  xrge0slmod  33376  xrge0iifmhm  33938  xrge0tmdALT  33945  esumcl  34031  esumgsum  34046  esum0  34050  esumf1o  34051  esumsplit  34054  esumadd  34058  gsumesum  34060  esumlub  34061  esumaddf  34062  esumsnf  34065  esumss  34073  esumpfinval  34076  esumpfinvalf  34077  esumcocn  34081  esum2d  34094  sitmcl  34353  gsumge0cl  46386  sge0tsms  46395