Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0cmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0cmn 20154
 Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrge0cmn (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1cmn 20152 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
31xrge0subm 20153 . . 3 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4 xrex 12394 . . . . . . 7 * ∈ V
54difexi 5200 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
6 difss 4062 . . . . . . . . 9 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
7 xrsbas 20128 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
81, 7ressbas2 16567 . . . . . . . . 9 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
109submss 17986 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
113, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12 ressabs 16575 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
135, 11, 12mp2an 691 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1413eqcomi 2807 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
1514submmnd 17990 . . 3 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
163, 15ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1714subcmn 18971 . 2 (((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
182, 16, 17mp2an 691 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  +∞cpnf 10679  -∞cmnf 10680  ℝ*cxr 10681  [,]cicc 12749  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  ℝ*𝑠cxrs 16785  Mndcmnd 17923  SubMndcsubmnd 17967  CMndccmn 18919 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-xadd 12516  df-icc 12753  df-fz 12906  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-0g 16727  df-xrs 16787  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-cmn 18921 This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  23479  xrge0tsms  23480  xrge00  30769  xrge0tsmsd  30791  xrge0omnd  30811  xrge0slmod  31017  xrge0iifmhm  31358  xrge0tmdALT  31365  esumcl  31465  esumgsum  31480  esum0  31484  esumf1o  31485  esumsplit  31488  esumadd  31492  gsumesum  31494  esumlub  31495  esumaddf  31496  esumsnf  31499  esumss  31507  esumpfinval  31510  esumpfinvalf  31511  esumcocn  31515  esum2d  31528  sitmcl  31785  gsumge0cl  43178  sge0tsms  43187
 Copyright terms: Public domain W3C validator