Theorem xrge0cmn 20986

Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0cmn	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1cmn 20984	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
3	1	xrge0subm 20985	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
4		xrex 12970	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
5	4	difexi 5328	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
6		difss 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
7		xrsbas 20960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	1, 7	ressbas2 17181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
10	9	submss 18689	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12		ressabs 17193	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
13	5, 11, 12	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14	13	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
15	14	submmnd 18693	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
16	3, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
17	14	subcmn 19704	. 2 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18	2, 16, 17	mp2an 690	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246  [,]cicc 13326  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  ℝ^*_𝑠cxrs 17445  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  CMndccmn 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-xadd 13092  df-icc 13330  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-xrs 17447  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-cmn 19649

This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  24348  xrge0tsms  24349  xrge00  32182  xrge0tsmsd  32204  xrge0omnd  32224  xrge0slmod  32458  xrge0iifmhm  32914  xrge0tmdALT  32921  esumcl  33023  esumgsum  33038  esum0  33042  esumf1o  33043  esumsplit  33046  esumadd  33050  gsumesum  33052  esumlub  33053  esumaddf  33054  esumsnf  33057  esumss  33065  esumpfinval  33068  esumpfinvalf  33069  esumcocn  33073  esum2d  33086  sitmcl  33345  gsumge0cl  45077  sge0tsms  45086