Theorem xrge0cmn 21762

Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0cmn	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1cmn 21760	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
3	1	xrge0subm 21761	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
4		xrex 13125	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
5	4	difexi 5295	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
6		difss 4074	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
7		xrsbas 17790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
8	1, 7	ressbas2 17428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))))
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
10	9	submss 19016	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12		ressabs 17438	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
13	5, 11, 12	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
14	13	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
15	14	submmnd 19021	. . 3 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
16	3, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
17	14	subcmn 20063	. 2 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18	2, 16, 17	mp2an 705	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  -∞cmnf 11351  ℝ^*cxr 11352  [,]cicc 13489  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  ℝ^*_𝑠cxrs 17684  Mndcmnd 18935  SubMndcsubmnd 18989  CMndccmn 20006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-xadd 13252  df-icc 13493  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-0g 17624  df-xrs 17686  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-cmn 20008

This theorem is used by:  xrge0omnd  21763  xrge0gsumle  25165  xrge0tsms  25166  xrge00  33628  xrge0tsmsd  33687  xrge0slmod  33962  xrge0iifmhm  34624  xrge0tmdALT  34631  esumcl  34715  esumgsum  34730  esum0  34734  esumf1o  34735  esumsplit  34738  esumadd  34742  gsumesum  34744  esumlub  34745  esumaddf  34746  esumsnf  34749  esumss  34757  esumpfinval  34760  esumpfinvalf  34761  esumcocn  34765  esum2d  34778  sitmcl  35036  gsumge0cl  47520  sge0tsms  47529