MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0cmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0cmn 20522
Description: The nonnegative extended real numbers are a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrge0cmn (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd

Proof of Theorem xrge0cmn
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
21xrs1cmn 20520 . 2 (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd
31xrge0subm 20521 . . 3 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
4 xrex 12381 . . . . . . 7 * ∈ V
54difexi 5229 . . . . . 6 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
6 difss 4112 . . . . . . . . 9 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
7 xrsbas 20496 . . . . . . . . . 10 * = (Base‘ℝ*𝑠)
81, 7ressbas2 16550 . . . . . . . . 9 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))))
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})))
109submss 17969 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}))
113, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
12 ressabs 16558 . . . . . 6 (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
135, 11, 12mp2an 688 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1413eqcomi 2835 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = ((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
1514submmnd 17973 . . 3 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
163, 15ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
1714subcmn 18893 . 2 (((ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞})) ∈ CMnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
182, 16, 17mp2an 688 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  *cxr 10668  [,]cicc 12736  Basecbs 16478  s cress 16479  *𝑠cxrs 16768  Mndcmnd 17906  SubMndcsubmnd 17950  CMndccmn 18842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-xadd 12503  df-icc 12740  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-xrs 16770  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-cmn 18844
This theorem is referenced by:  xrge0gsumle  23375  xrge0tsms  23376  xrge00  30606  xrge0tsmsd  30625  xrge0omnd  30645  xrge0slmod  30850  xrge0iifmhm  31087  xrge0tmdALT  31094  esumcl  31194  esumgsum  31209  esum0  31213  esumf1o  31214  esumsplit  31217  esumadd  31221  gsumesum  31223  esumlub  31224  esumaddf  31225  esumsnf  31228  esumss  31236  esumpfinval  31239  esumpfinvalf  31240  esumcocn  31244  esum2d  31257  sitmcl  31514  gsumge0cl  42538  sge0tsms  42547
  Copyright terms: Public domain W3C validator