Theorem qqtopn 34176

Description: The topology of the field of the rational numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qqtopn	⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

Proof of Theorem qqtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopn 25355	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
2	1	oveq1i 7368	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ)
3		df-refld 21593	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
4	3	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s ℚ) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ)
5		reex 11118	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12898	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		ressabs 17207	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ))
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
9	4, 8	eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℝfld ↾s ℚ)
10	9, 1	resstopn 23160	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
11	2, 10	eqtr3i 2762	1 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  ℚcq 12887  (,)cioo 13287   ↾_s cress 17189   ↾_t crest 17372  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  ℂ_fldccnfld 21342  ℝ_fldcrefld 21592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-fz 13451  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-cnfld 21343  df-refld 21593  df-top 22868  df-topon 22885  df-bases 22920

This theorem is referenced by:  rrhqima  34179