Theorem qqtopn 33290

Description: The topology of the field of the rational numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qqtopn	⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

Proof of Theorem qqtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopn 25128	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
2	1	oveq1i 7422	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ)
3		df-refld 21378	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
4	3	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s ℚ) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ)
5		reex 11204	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12948	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		ressabs 17199	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ))
8	5, 6, 7	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
9	4, 8	eqtr2i 2760	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℝfld ↾s ℚ)
10	9, 1	resstopn 22911	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
11	2, 10	eqtr3i 2761	1 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  ℚcq 12937  (,)cioo 13329   ↾_s cress 17178   ↾_t crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  ℂ_fldccnfld 21145  ℝ_fldcrefld 21377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670

This theorem is referenced by:  rrhqima  33293