Theorem qqtopn 34713

Description: The topology of the field of the rational numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qqtopn	⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

Proof of Theorem qqtopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopn 25730	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
2	1	oveq1i 7453	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ)
3		df-refld 21941	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
4	3	oveq1i 7453	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s ℚ) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ)
5		reex 11318	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 13113	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		ressabs 17455	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
9	4, 8	eqtr2i 2787	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℝfld ↾s ℚ)
10	9, 1	resstopn 23534	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))
11	2, 10	eqtr3i 2788	1 ⊢ ((TopOpen‘ℝfld) ↾t ℚ) = (TopOpen‘(ℂfld ↾s ℚ))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ran crn 5656  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  ℚcq 13102  (,)cioo 13503   ↾_s cress 17437   ↾_t crest 17620  TopOpenctopn 17621  topGenctg 17637  ℂ_fldccnfld 21708  ℝ_fldcrefld 21940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-cnfld 21709  df-refld 21941  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294

This theorem is used by:  rrhqima  34716