Theorem lsslss 20223

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lsslss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 20222	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑋 ↾s 𝑉)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6		lsslss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
7	4, 5, 6	islss3 20221	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10	9, 2	lssss 20198	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12	1, 9	ressbas2 16949	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
14	13	sseq2d 3953	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
15	14	anbi1d 630	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
16		sstr2 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
17	11, 16	mpan9 507	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
19	1	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉)
20		ressabs 16959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
21	20	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
22	19, 21	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
23	22	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod))
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉)
25	24, 9, 2	islss3 20221	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
26	25	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
27	18, 23, 26	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉 ∈ 𝑆))
28	27	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆)))
29	28	biancomd 464	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))
30	8, 15, 29	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  lsslsp  20277  mplbas2  21243  mplind  21278  lcdlss  39633  lnmlsslnm  40906  lmhmlnmsplit  40912