MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslss 20564
Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslss.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
lsslss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))

Proof of Theorem lsslss
StepHypRef Expression
1 lsslss.x . . . 4 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 lsslss.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslmod 20563 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4 eqid 2732 . . . 4 (𝑋s 𝑉) = (𝑋s 𝑉)
5 eqid 2732 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6 lsslss.t . . . 4 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
74, 5, 6islss3 20562 . . 3 (𝑋 ∈ LMod → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
9 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
109, 2lssss 20539 . . . . . 6 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
121, 9ressbas2 17178 . . . . 5 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1413sseq2d 4013 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑈𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
1514anbi1d 630 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod)))
16 sstr2 3988 . . . . . . 7 (𝑉𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
1711, 16mpan9 507 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
1817biantrurd 533 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
191oveq1i 7415 . . . . . . 7 (𝑋s 𝑉) = ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉)
20 ressabs 17190 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑆𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2120adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑊s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2219, 21eqtrid 2784 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑋s 𝑉) = (𝑊s 𝑉))
2322eleq1d 2818 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑉) = (𝑊s 𝑉)
2524, 9, 2islss3 20562 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2625ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → (𝑉𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊s 𝑉) ∈ LMod)))
2718, 23, 263bitr4d 310 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑉𝑈) → ((𝑋s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉𝑆))
2827pm5.32da 579 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑈𝑉𝑆)))
2928biancomd 464 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑉𝑈 ∧ (𝑋s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
308, 15, 293bitr2d 306 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑉𝑇 ↔ (𝑉𝑆𝑉𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3947  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  s cress 17169  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  lsslsp  20618  mplbas2  21588  mplind  21622  lcdlss  40478  lnmlsslnm  41808  lmhmlnmsplit  41814
  Copyright terms: Public domain W3C validator