Theorem lsslss 20904

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lsslss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 20903	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑋 ↾s 𝑉)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6		lsslss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
7	4, 5, 6	islss3 20902	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
9		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10	9, 2	lssss 20879	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12	1, 9	ressbas2 17159	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
14	13	sseq2d 3964	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
15	14	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
16		sstr2 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
17	11, 16	mpan9 506	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
19	1	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉)
20		ressabs 17169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
21	20	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
22	19, 21	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
23	22	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod))
24		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉)
25	24, 9, 2	islss3 20902	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
27	18, 23, 26	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉 ∈ 𝑆))
28	27	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆)))
29	28	biancomd 463	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))
30	8, 15, 29	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  LModclmod 20803  LSubSpclss 20874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-mgp 20069  df-ur 20110  df-ring 20163  df-lmod 20805  df-lss 20875

This theorem is referenced by:  lsslsp  20958  lsslspOLD  20959  mplbas2  21987  mplind  22015  lcdlss  41728  lnmlsslnm  43188  lmhmlnmsplit  43194