Theorem lsslss 20874

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lsslss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 20873	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑋 ↾s 𝑉)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6		lsslss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
7	4, 5, 6	islss3 20872	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
9		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10	9, 2	lssss 20849	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
12	1, 9	ressbas2 17215	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
14	13	sseq2d 3982	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
15	14	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
16		sstr2 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
17	11, 16	mpan9 506	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
19	1	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉)
20		ressabs 17225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
21	20	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
22	19, 21	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
23	22	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod))
24		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉)
25	24, 9, 2	islss3 20872	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
26	25	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
27	18, 23, 26	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉 ∈ 𝑆))
28	27	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆)))
29	28	biancomd 463	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))
30	8, 15, 29	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845

This theorem is referenced by:  lsslsp  20928  lsslspOLD  20929  mplbas2  21956  mplind  21984  lcdlss  41620  lnmlsslnm  43077  lmhmlnmsplit  43083