Theorem ricnzr1 33782

Description: A ring isomorphism maps a nonzero ring to a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricnzr1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ricnzr1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20706	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2	1	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
4		rimrcl2 20694	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)
6	3, 5	n0limd 4300	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20726	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		isrim0 20674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12	11	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	14, 7	rhm1 20685	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
17		rhmghm 20675	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
19	18, 8	ghmid 19397	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
20	13, 17, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
21	10, 16, 20	3netr4d 3032	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
22		fveq2 6873	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
23	22	necon3i 2987	. . . 4 ⊢ ((◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
24	21, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
25	3, 24	n0limd 4300	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
26	14, 18	isnzr 20725	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0_gc0g 17571   GrpHom cghm 19388  1_rcur 20368  Ringcrg 20420   RingHom crh 20660   RingIso crs 20661   ≃_𝑟 cric 20662  NzRingcnzr 20723

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-ghm 19389  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-rhm 20663  df-rim 20664  df-ric 20704  df-nzr 20724

This theorem is used by:  ricdomn1  33783