Theorem ricnzr1 33715

Description: A ring isomorphism maps a nonzero ring to a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricnzr1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ricnzr1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20657	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2	1	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
4		rimrcl2 20645	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)
6	3, 5	n0limd 4304	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20676	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		isrim0 20625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12	11	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
14		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	14, 7	rhm1 20636	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
17		rhmghm 20626	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
18		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
19	18, 8	ghmid 19350	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
20	13, 17, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
21	10, 16, 20	3netr4d 3034	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
22		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
23	22	necon3i 2989	. . . 4 ⊢ ((◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
24	21, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
25	3, 24	n0limd 4304	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
26	14, 18	isnzr 20675	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0_gc0g 17528   GrpHom cghm 19341  1_rcur 20321  Ringcrg 20373   RingHom crh 20611   RingIso crs 20612   ≃_𝑟 cric 20613  NzRingcnzr 20673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-ghm 19342  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rhm 20614  df-rim 20615  df-ric 20655  df-nzr 20674

This theorem is used by:  ricdomn1  33716