Theorem ricnzr1 33372

Description: A ring isomorphism maps a nonzero ring to a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricnzr1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ricnzr1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2	1	biimpi 217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
4		rimrcl2 20470	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)
6	3, 5	n0limd 32562	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20490	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad2antlr 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		isrim0 20456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12	11	simprbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	14, 7	rhm1 20463	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
17		rhmghm 20457	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
19	18, 8	ghmid 19191	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
20	13, 17, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
21	10, 16, 20	3netr4d 3008	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
22		fveq2 6830	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
23	22	necon3i 2963	. . . 4 ⊢ ((◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
25	3, 24	n0limd 32562	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
26	14, 18	isnzr 20489	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   ≠ wne 2931  ∅c0 4264   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5620  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0_gc0g 17396   GrpHom cghm 19181  1_rcur 20156  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443   RingIso crs 20444   ≃_𝑟 cric 20445  NzRingcnzr 20487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-ghm 19182  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-rhm 20446  df-rim 20447  df-ric 20449  df-nzr 20488

This theorem is referenced by:  ricdomn1  33373