Theorem ricnzr1 33574

Description: A ring isomorphism maps a nonzero ring to a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricnzr1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ricnzr1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20585	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2	1	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
4		rimrcl2 20577	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)
6	3, 5	n0limd 4307	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20597	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		isrim0 20563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12	11	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	14, 7	rhm1 20570	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
16	13, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
17		rhmghm 20564	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
19	18, 8	ghmid 19291	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
20	13, 17, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
21	10, 16, 20	3netr4d 3033	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
22		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
23	22	necon3i 2988	. . . 4 ⊢ ((◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
24	21, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
25	3, 24	n0limd 4307	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
26	14, 18	isnzr 20596	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0_gc0g 17491   GrpHom cghm 19282  1_rcur 20262  Ringcrg 20314   RingHom crh 20550   RingIso crs 20551   ≃_𝑟 cric 20552  NzRingcnzr 20594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-ghm 19283  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-rhm 20553  df-rim 20554  df-ric 20556  df-nzr 20595

This theorem is referenced by:  ricdomn1  33575