Theorem ricnzr1 33475

Description: A ring isomorphism maps a nonzero ring to a nonzero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricnzr1	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ricnzr1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20563	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2	1	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
4		rimrcl2 20555	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)
6	3, 5	n0limd 4307	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ Ring)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 20575	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11		isrim0 20541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)))
12	11	simprbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	14, 7	rhm1 20548	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
16	13, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (1r‘𝑅))
17		rhmghm 20542	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
19	18, 8	ghmid 19272	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
20	13, 17, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑅))
21	10, 16, 20	3netr4d 3035	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
22		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) = (0g‘𝑆) → (◡𝑓‘(1r‘𝑆)) = (◡𝑓‘(0g‘𝑆)))
23	22	necon3i 2990	. . . 4 ⊢ ((◡𝑓‘(1r‘𝑆)) ≠ (◡𝑓‘(0g‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
24	21, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
25	3, 24	n0limd 4307	. 2 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆))
26	14, 18	isnzr 20574	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ NzRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑆) ≠ (0g‘𝑆)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑆 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   class class class wbr 5101  ^◡ccnv 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0_gc0g 17478   GrpHom cghm 19263  1_rcur 20241  Ringcrg 20293   RingHom crh 20528   RingIso crs 20529   ≃_𝑟 cric 20530  NzRingcnzr 20572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-grp 18988  df-ghm 19264  df-mgp 20197  df-ur 20242  df-ring 20295  df-rhm 20531  df-rim 20532  df-ric 20534  df-nzr 20573

This theorem is referenced by:  ricdomn1  33476