MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldinv 20569
Description: The multiplicative inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfldinv ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))

Proof of Theorem cnfldinv
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4703 . 2 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0))
2 cnring 20560 . . 3 fld ∈ Ring
3 cnfldbas 20542 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
4 cnfld0 20562 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
5 cndrng 20567 . . . . 5 fld ∈ DivRing
63, 4, 5drngui 19501 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
7 cnflddiv 20568 . . . 4 / = (/r‘ℂfld)
8 cnfld1 20563 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
9 eqid 2824 . . . 4 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
103, 6, 7, 8, 9ringinvdv 19440 . . 3 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
112, 10mpan 689 . 2 (𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
121, 11sylbir 238 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑋) = (1 / 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  {csn 4549  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   / cdiv 11289  Ringcrg 19293  invrcinvr 19417  fldccnfld 20538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-cmn 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-cnfld 20539
This theorem is referenced by:  cnmsubglem  20601  gzrngunit  20604  zringunit  20628  psgninv  20719  cphreccllem  23779  sum2dchr  25854
  Copyright terms: Public domain W3C validator