Theorem cnsubdrglem 21377

Description: Lemma for resubdrg 21567 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 21375	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7		cndrng 21357	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
9		cnfld0 21351	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubdrg 20717	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	7, 6, 11	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21349	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	1	ssriv 3938	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
15		ssdif 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
17	16	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		cnfldbas 21317	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	18, 9, 7	drngui 20672	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20		cnflddiv 21359	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		cnfld1 21352	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 20354	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
23	13, 17, 22	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24		eldifsn 4743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
26	24, 25	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
27	23, 26	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
28	12, 27	mprgbir 3059	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing
29	6, 28	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035  -cneg 11369   / cdiv 11798   ↾_s cress 17161  Ringcrg 20172  inv_rcinvr 20327  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20666  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  qsubdrg  21378  resubdrg  21567