Theorem cnsubdrglem 21436

Description: Lemma for resubdrg 21626 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 21434	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7		cndrng 21411	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
9		cnfld0 21405	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubdrg 20781	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	7, 6, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21403	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	1	ssriv 3987	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
15		ssdif 4144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
17	16	sseli 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		cnfldbas 21368	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	18, 9, 7	drngui 20735	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20		cnflddiv 21413	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		cnfld1 21406	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 20414	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
23	13, 17, 22	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24		eldifsn 4786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
26	24, 25	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
27	23, 26	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
28	12, 27	mprgbir 3068	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing
29	6, 28	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920   ↾_s cress 17274  Ringcrg 20230  inv_rcinvr 20387  SubRingcsubrg 20569  DivRingcdr 20729  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  qsubdrg  21437  resubdrg  21626