Theorem cnsubdrglem 21325

Description: Lemma for resubdrg 21515 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 21323	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7		cndrng 21305	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
9		cnfld0 21299	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubdrg 20665	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	7, 6, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21297	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	1	ssriv 3939	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
15		ssdif 4095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
17	16	sseli 3931	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		cnfldbas 21265	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	18, 9, 7	drngui 20620	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20		cnflddiv 21307	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		cnfld1 21300	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 20299	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
23	13, 17, 22	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24		eldifsn 4737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
26	24, 25	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
27	23, 26	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
28	12, 27	mprgbir 3051	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing
29	6, 28	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  -cneg 11348   / cdiv 11777   ↾_s cress 17141  Ringcrg 20118  inv_rcinvr 20272  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  qsubdrg  21326  resubdrg  21515