Theorem cnsubdrglem 21355

Description: Lemma for resubdrg 21545 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 21353	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7		cndrng 21335	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
9		cnfld0 21329	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubdrg 20695	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	7, 6, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21327	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	1	ssriv 3933	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
15		ssdif 4091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
17	16	sseli 3925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		cnfldbas 21295	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	18, 9, 7	drngui 20650	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20		cnflddiv 21337	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		cnfld1 21330	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 20332	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
23	13, 17, 22	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24		eldifsn 4735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
26	24, 25	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
27	23, 26	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
28	12, 27	mprgbir 3054	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing
29	6, 28	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  -cneg 11345   / cdiv 11774   ↾_s cress 17141  Ringcrg 20151  inv_rcinvr 20305  SubRingcsubrg 20484  DivRingcdr 20644  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  qsubdrg  21356  resubdrg  21545