Theorem cnsubdrglem 21632

Description: Lemma for resubdrg 21822 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubdrglem	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	cnsubrglem 21631	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7		cndrng 21615	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
9		cnfld0 21610	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubdrg 20947	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	7, 6, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21608	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14	1	ssriv 3938	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
15		ssdif 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
17	16	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		cnfldbas 21590	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19	18, 9, 7	drngui 20897	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20		cnflddiv 21616	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		cnfld1 21611	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
22	18, 19, 20, 21, 10	ringinvdv 20556	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
23	13, 17, 22	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24		eldifsn 4751	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0))
25		cnsubrglem.6	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
26	24, 25	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
27	23, 26	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
28	12, 27	mprgbir 3085	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing
29	6, 28	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  -cneg 11469   / cdiv 11898   ↾_s cress 17326  Ringcrg 20373  inv_rcinvr 20529  SubRingcsubrg 20732  DivRingcdr 20891  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-cnfld 21587

This theorem is used by:  qsubdrg  21633  resubdrg  21822