MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlmvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlmvsca 19529
Description: Scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rlmvsca (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmvsca
StepHypRef Expression
1 rlmval 19518 . . . 4 (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
21a1i 11 . . 3 (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
3 ssidd 3824 . . 3 (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
42, 3sravsca 19509 . 2 (⊤ → (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
54mptru 1661 1 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wtru 1654  cfv 6105  Basecbs 16188  .rcmulr 16272   ·𝑠 cvsca 16275  subringAlg csra 19495  ringLModcrglmod 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-3 11381  df-4 11382  df-5 11383  df-6 11384  df-7 11385  df-8 11386  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-sets 16195  df-vsca 16288  df-ip 16289  df-sra 19499  df-rgmod 19500
This theorem is referenced by:  rlmscaf  19535  islidl  19538  lidlmcl  19544  lidlrsppropd  19557  rspsn  19581  ipass  20318  isphld  20327  frlmvscafval  20438  cnncvsmulassdemo  23295
  Copyright terms: Public domain W3C validator