Theorem rlmvsca 20774

Description: Scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvsca	⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmval 20763	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
3		ssidd 4002	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
4	2, 3	sravsca 20751	. 2 ⊢ (⊤ → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	mptru 1548	1 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542  ‘cfv 6533  Basecbs 17128  ._rcmulr 17182   ·_𝑠 cvsca 17185  subringAlg csra 20732  ringLModcrglmod 20733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-sra 20736  df-rgmod 20737

This theorem is referenced by:  rlmscaf  20781  islidl  20784  lidlmcl  20790  lidlrsppropd  20803  rspsn  20830  ipass  21133  isphld  21142  frlmvscafval  21256  cnncvsmulassdemo  24612  rspsnel  32410  elrsp  32412  frlmsnic  40978  mhphf2  41022