Theorem rngcco 46709

Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcco.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
rngcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
rngcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rngcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
rngcco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
rngcco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
rngcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem rngcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcco.o	. . . . 5 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4	1, 2, 3	rngccofval 46708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
5	4	oveqd 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
6	5	oveqd 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9		rngcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		rngcco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11		rngcco.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15		rngcco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16		rngcco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
17	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	estrcco 18068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18	6, 17	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4630   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  compcco 17196  ExtStrCatcestrc 18060  RngCatcrngc 46695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-hom 17208  df-cco 17209  df-resc 17745  df-estrc 18061  df-rnghomo 46557  df-rngc 46697

This theorem is referenced by:  rngcsect  46718  rhmsubcrngclem2  46766  rhmsubclem4  46827