Theorem rngcco 46422

Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcco.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
rngcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
rngcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rngcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
rngcco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
rngcco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
rngcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem rngcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcco.o	. . . . 5 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4	1, 2, 3	rngccofval 46421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
5	4	oveqd 7394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
6	5	oveqd 7394	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9		rngcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		rngcco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11		rngcco.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15		rngcco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16		rngcco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
17	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	estrcco 18046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18	6, 17	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4612   ∘ ccom 5657  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  compcco 17174  ExtStrCatcestrc 18038  RngCatcrngc 46408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-hom 17186  df-cco 17187  df-resc 17723  df-estrc 18039  df-rnghomo 46338  df-rngc 46410

This theorem is referenced by:  rngcsect  46431  rhmsubcrngclem2  46479  rhmsubclem4  46540