Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcco 46422
Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcco.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcco.o Β· = (compβ€˜πΆ)
rngcco.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
rngcco.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
rngcco.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
rngcco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
rngcco.g (πœ‘ β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
rngcco (πœ‘ β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© Β· 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem rngcco
StepHypRef Expression
1 rngcco.c . . . . 5 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
2 rngcco.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngcco.o . . . . 5 Β· = (compβ€˜πΆ)
41, 2, 3rngccofval 46421 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β· = (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
54oveqd 7394 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© Β· 𝑍) = (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝑍))
65oveqd 7394 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© Β· 𝑍)𝐹) = (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝑍)𝐹))
7 eqid 2731 . . 3 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2731 . . 3 (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
9 rngcco.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
10 rngcco.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
11 rngcco.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
12 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
13 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
14 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
15 rngcco.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
16 rngcco.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘))
177, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16estrcco 18046 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
186, 17eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ (𝐺(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© Β· 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4612   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  compcco 17174  ExtStrCatcestrc 18038  RngCatcrngc 46408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-hom 17186  df-cco 17187  df-resc 17723  df-estrc 18039  df-rnghomo 46338  df-rngc 46410
This theorem is referenced by:  rngcsect  46431  rhmsubcrngclem2  46479  rhmsubclem4  46540
  Copyright terms: Public domain W3C validator