Theorem rngcco 45529

Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcco.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)
rngcco.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
rngcco.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
rngcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
rngcco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
rngcco.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
rngcco	⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Proof of Theorem rngcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcco.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcco.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngcco.o	. . . . 5 ⊢ · = (comp‘𝐶)
4	1, 2, 3	rngccofval 45528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
5	4	oveqd 7292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍))
6	5	oveqd 7292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹))
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
9		rngcco.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		rngcco.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11		rngcco.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15		rngcco.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑌))
16		rngcco.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑍))
17	7, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	estrcco 17846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘(ExtStrCat‘𝑈))𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))
18	6, 17	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍)𝐹) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  compcco 16974  ExtStrCatcestrc 17838  RngCatcrngc 45515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-hom 16986  df-cco 16987  df-resc 17523  df-estrc 17839  df-rnghomo 45445  df-rngc 45517

This theorem is referenced by:  rngcsect  45538  rhmsubcrngclem2  45586  rhmsubclem4  45647