Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngccofval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngccofval 44451
 Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcco.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcco.o · = (comp‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngccofval (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem rngccofval
StepHypRef Expression
1 rngcco.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2 rngcco.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
3 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
41, 3, 2rngcbas 44446 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
5 eqid 2824 . . . . 5 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
61, 3, 2, 5rngchomfval 44447 . . . 4 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHomo ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
71, 2, 4, 6rngcval 44443 . . 3 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
87fveq2d 6657 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9 rngcco.o . . 3 · = (comp‘𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑· = (comp‘𝐶))
11 eqid 2824 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12 eqid 2824 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13 fvexd 6668 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
144, 6rnghmresfn 44444 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15 inss1 4188 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
17 eqid 2824 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1817, 2estrcbas 17366 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1918eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
2016, 4, 193sstr4d 3998 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21 eqid 2824 . . 3 (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
2211, 12, 13, 14, 20, 21rescco 17093 . 2 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
238, 10, 223eqtr4d 2869 1 (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Hom chom 16567  compcco 16568   ↾cat cresc 17069  ExtStrCatcestrc 17363  Rngcrng 44355  RngCatcrngc 44438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-hom 16580  df-cco 16581  df-resc 17072  df-estrc 17364  df-rnghomo 44368  df-rngc 44440 This theorem is referenced by:  rngcco  44452
 Copyright terms: Public domain W3C validator