Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngccofval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngccofval 44451
Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcco.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcco.o · = (comp‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rngccofval (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem rngccofval
StepHypRef Expression
1 rngcco.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2 rngcco.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
3 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
41, 3, 2rngcbas 44446 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
5 eqid 2824 . . . . 5 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
61, 3, 2, 5rngchomfval 44447 . . . 4 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHomo ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
71, 2, 4, 6rngcval 44443 . . 3 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
87fveq2d 6657 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9 rngcco.o . . 3 · = (comp‘𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑· = (comp‘𝐶))
11 eqid 2824 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12 eqid 2824 . . 3 (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13 fvexd 6668 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
144, 6rnghmresfn 44444 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15 inss1 4188 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
17 eqid 2824 . . . . . 6 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
1817, 2estrcbas 17366 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
1918eqcomd 2830 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
2016, 4, 193sstr4d 3998 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21 eqid 2824 . . 3 (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
2211, 12, 13, 14, 20, 21rescco 17093 . 2 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
238, 10, 223eqtr4d 2869 1 (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  cin 3917  wss 3918  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Hom chom 16567  compcco 16568  cat cresc 17069  ExtStrCatcestrc 17363  Rngcrng 44355  RngCatcrngc 44438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-hom 16580  df-cco 16581  df-resc 17072  df-estrc 17364  df-rnghomo 44368  df-rngc 44440
This theorem is referenced by:  rngcco  44452
  Copyright terms: Public domain W3C validator