Theorem rngccofval 20593

Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcco.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngccofval	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem rngccofval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcco.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	1, 3, 2	rngcbas 20588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	1, 3, 2, 5	rngchomfval 20589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
7	1, 2, 4, 6	rngcval 20585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
8	7	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9		rngcco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
14	4, 6	rnghmresfn 20586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15		inss1 4217	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
17		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
18	17, 2	estrcbas 18139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
19	18	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
20	16, 4, 19	3sstr4d 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21		eqid 2734	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
22	11, 12, 13, 14, 20, 21	rescco 17846	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
23	8, 10, 22	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228  Hom chom 17283  compcco 17284   ↾_cat cresc 17822  ExtStrCatcestrc 18136  Rngcrng 20116  RngCatcrngc 20583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-hom 17296  df-cco 17297  df-resc 17825  df-estrc 18137  df-rnghm 20403  df-rngc 20584

This theorem is referenced by:  rngcco  20594