Theorem rngccofval 20879

Description: Composition in the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcco.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rngccofval	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Proof of Theorem rngccofval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcco.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
2		rngcco.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4	1, 3, 2	rngcbas 20874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	1, 3, 2, 5	rngchomfval 20875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RngHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
7	1, 2, 4, 6	rngcval 20871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)))
8	7	fveq2d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
9		rngcco.o	. . 3 ⊢ · = (comp‘𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶)) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))
12		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈))
13		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
14	4, 6	rnghmresfn 20872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
15		inss1 4182	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) ⊆ 𝑈)
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
18	17, 2	estrcbas 18300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
19	18	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)) = 𝑈)
20	16, 4, 19	3sstr4d 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) ⊆ (Base‘(ExtStrCat‘𝑈)))
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
22	11, 12, 13, 14, 20, 21	rescco 18008	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat (Hom ‘𝐶))))
23	8, 10, 22	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  Hom chom 17440  compcco 17441   ↾_cat cresc 17984  ExtStrCatcestrc 18297  Rngcrng 20375  RngCatcrngc 20869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-hom 17453  df-cco 17454  df-resc 17987  df-estrc 18298  df-rnghm 20667  df-rngc 20870

This theorem is used by:  rngcco  20880